Justification d'une convergence (série)

topopot

Bonjour,

On note $\sum u_n$ la série dont le terme général est défini pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=1/n$ si $n$ est le carré d'un entier et $u_n=0$ sinon. J'ai du mal à justifier proprement la convergence. 

Comme le terme général est positif et la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ convergente, il suffit de voir que $\sum\limits_{k=1}^n u_k=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{k^2}$, sauf que j'ai du mal à justifier cette égalité rigoureusement, même si je vois qu'effectivement c'est vrai sur des exemples.

JLapin

Tu peux simplement montrer que les sommes partielles sont majorées (par le réel $\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}$).

Médiat_Suprème

Est-ce que démontrer $\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2} u_k = \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$ ne serait pas très simple ?

JLapin

Après, il restera à justifier que la convergence de la suite $(S_{n^2})$ implique celle de la suite $(S_n)$...

topopot

Merci.
Je souhaitais en fait une preuve de l'égalité $\sum\limits_{k=1}^n u_k=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{k^2}$.
Mais c'est bon.

Julia Paule

Bonjour,

$\sum\limits_{k=1}^n u_k =\sum_{1 \leq k^2 \leq n} \dfrac{1}{k^2} =\sum_{1 \leq k \leq \sqrt n} \dfrac{1}{k^2} =\sum_{1 \leq k \leq {\lfloor\sqrt{n}\rfloor}} \dfrac{1}{k^2} =  \sum\limits_{k=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\frac{1}{k^2}$.