Compléter une famille paramétrée de vecteurs libres en une base (paramétrée)

Dagothur

Bonsoir,

Je m'excuse d'avance pour le titre un peu confus. J'ai mis tout en bas du message l'énoncé d'un exercice (du livre Introduction to Smooth Manifolds) que j'ai résolu. En réfléchissant à sa démonstration, je me suis demandé si le lemme suivant était vrai :

Lemme :  Soit $U$ une boule ouverte de $\mathbb{R}^N$, deux nombres entiers $m<n$, ainsi que des fonctions continues $v_j : U \rightarrow \mathbb{R}^n$, $1\leq j \leq m$ vérifiant la propriété de famille libre : $\forall x \in U, (v_1(x),...,v_m(x))$ est une famille libre. Alors il existe des fonctions continues $w_j(x) : U \rightarrow \mathbb{R}^n$, $1 \leq j \leq n-m$ tel que $\forall x \in U, (v_1(x),...,v_m(x),w_1(x),...,w_{n-m}(x))$ forme une base de $\mathbb{R}^n$

Je sèche à résoudre ce lemme. Mon idée était de faire une partition de $U$ en petits ouverts $U_k$ où sur chaque $U_k$, je construis une solution au problème (ce que je sais faire par Gram-Schmidt par exemple) : $\forall x \in U_k, (v_1(x),...,v_m(x),w^k_1(x),...,w^k_{n-m}(x))$ est une base de $\mathbb{R}^n$. Soit $(\phi_k)_k$ une partition de l'unité associée à la partition $(U_k)_k$. Il me semble raisonnable de poser ensuite pour tout $j$, $w_j(x) = \sum_{k}{\phi_k(x)w^k_j(x)}$. Sauf qu'il n'y aucun moyen de vérifier si $(v_1(x),...,v_m(x),w_1(x),...,w_{n-m}(x))$ reste une base (c'est même possiblement faux).

J'ai noté aussi qu'il suffirait d'ajouter un seul vecteur à la famille libre $(v_1(x),...,v_m(x))$ puis d'itérer par récurrence. De sorte que le problème se réécrit aussi comme la recherche de $w : U \rightarrow \mathbb{R}^n$ telle que $(v_1(x),...,v_m(x),w(x))$ soit une famille libre pour tout $x$, mais pas plus de succès là-dessus (toujours avec la démarche de procéder par partition)

Je sollicite donc une idée de solution de votre part. Merci.

Enoncé de l'exercice original :

Suppose $M$ and $N$ are smooth manifolds. A class $\mathcal{F}_s$ of smmoth maps from $M$ to $N$ is said to be stable if it has the following property : whenever $\{ \mathcal{F}_s : s \in S \}$ is a smooth family of maps from $M$ to $N$, and $F_{s_0} \in \mathcal{F}$ for some $s_0 \in S$, then there is a neighborhood $U$ of $s_0$ in $S$ such that $F_s \in \mathcal{F}$ for all $s\in U$ (roughly speaking, a property of smooth maps is stable if it persists under small deformations). Prove that if $M$ is compact, then the class of immersions from $M$ to $N$ is stable.

Bibix

Bonjour,
Tu n'as pas l'air de bloquer sur le point important qui est la continuité, ce qui est curieux. En effet, ton lemme est équivalent au fait qu'il existe $\omega : U \to \mathbb{R}^n$ continue tel que pour tout $x \in U$, $(v_1(x), ..., v_m(x), \omega(x))$ est libre dans $\mathbb{R}^n$. Gram-Schmidt suffit trivialement si tu enlèves la contrainte de continuité (et pas besoin de partitions). Et alors ton $\omega(x)$ vérifie : 
$$\forall i \leqslant m, \forall x \in U, \quad <\omega(x), v_i(x)> = 0$$
C'est une équation de la forme $g(\omega(x), x) = 0$ avec $g : \mathbb{R}^n \times U \to \mathbb{R}^n$ continue donc le théorème des fonctions implicites te fournit sans doute ton lemme.

Dagothur

Bonjour Bibix,

Merci pour ta réponse. Après courte réflexion, je ne pense pas que cette approche fonctionne. Appelons fonction $f$ la fonction suivante :

pour $x \in \mathbb{R}^N$ et $z\in \mathbb{R}^n$ on pose $f(x,z)=(<z,v_1(x)>,...,<z,v_m(x)>) \in \mathbb{R}^m$.

Si $w$ vérifie l'équation implicite $f(x,w(x))=0$, la fonction $w$ répond effectivement à la question. Cependant pour pouvoir appliquer le théorème des fonctions implicites il faut supposer de la dérivabilité ce qui est à priori exclu étant donné que les $v_j$ sont seulement continues. De plus le théorème ne donnerait qu'une solution locale, et on retomberait sur le même problème du recollement pour trouver une solution globale.