Coproduit de séries formelles

i.zitoussi

Une question que je me pose depuis très longtemps et à laquelle le fil récent de Foys sur les fonctions partielles m'a fait penser (bien que le lien soit assez ténu).
On aimerait définir un coproduit $\Delta: \C[[X]] \to \C[[X]] \otimes \C[[X]]$ par la formule
$$
\Delta f = f(X\otimes 1 + 1 \otimes X)
$$

L'ennui c'est qu'on se rend compte assez rapidement que cette application ne prend pas toutes ses valeurs dans l'espace annoncé (celui des combinaisons linéaires finies de la forme $\sum_i a_i\otimes b_i$, avec $a_i, b_i\in \C[[X]]$).
Question: Comment caractériser le sous-espace, qui est en fait une sous-algèbre, des $f$ telles que $\Delta f$, défini comme ci-dessus, est bien une combinaison linéaire finie ?

Si on n'aime pas la notation tensorielle, une reformulation: Comment caractériser les séries formelles $f(t)$ telles que $f(x+y)$ puisse s'écrire comme une somme finie $\sum_i a_i(x)b_i(y)$ ?

Cette sous-algèbre contient les polynômes et les fonctions exponentielles $\exp(aX)$, donc aussi $\sin$ et $\cos$. Mais est-ce tout ?
Je sais qu'une réponse détaillée se trouve dans le livre de Suzan Montgomery, Hopf Algebras and their actions on rings, mais je ne l'ai pas.

john_john

Je vais peut-être dire une bêtise, mais cela fait penser aux fonctions de type fini dont on prouve (moyennant des conditions de régularité) que ce sont exactement les solutions d'EDO linéaires à coefficients constants.

b.b

Bonsoir

Je ne suis pas sûr que ça fasse avancer le schmilblick, mais ton sujet me fait penser à ce qui suit.

Soit $f(x,y)\in \C[[x,y]]$ une série formelle telle que $f(0,y)\ne 0$. Notons $m$ le plus grand entier $k\ge 0$ tel que $y^k$ divise $f(0,y)$. D'après le théorème de préparation de Weierstrass, il existe une unique série inversible $u(x,y)\in \C[[x,y]]^{\times}$ telle que
\begin{equation*}
uf=y^m+a_1(x)y^{m-1}+\dots+a_{m-1}(x)y+a_m(x)
\end{equation*}
où les $a_i$ sont des séries formelles de $\C[[x]]$ telles que $a_i(0)=0$.

À une unité près, on peut donc se ramener à un élément de $\C[[x]][y]$.

i.zitoussi

@john_john Je ne connaissais pas ce terme. Les deux notions semblent bien liées, mais je serais bien incapable démontrer qu'elles sont équivalentes (si elles le sont).

b.b

Les séries $a_i$ aussi sont uniques dans le théorème (j'ai oublié de l'écrire dans mon message précédent).

i.zitoussi

Je remercie un utilisateur anonyme de m'avoir communiqué la section 9.1 du livre de S. Montgomery cité plus haut, qui confirme que les séries qu'on cherche sont engendrées (en tant qu'algèbre) par les polynômes et les exponentielles; et qui confirme aussi l'intuition de john_john (ce sont bien les séries dont la suite des coefficients suit une récurrence linéaire finie, ce qui est la même chose).

john_john

i.zitoussi : une démo élémentaire a fait l'objet d'un sujet de concours, dans les années quatre-vingt ; de mémoire : ESIM ou INT. Je vais essayer de le retrouver. C'est là que l'on parlait de type fini mais ce n'était peut-être pas un terme consacré (ces définitions locales sont fréquentes dans les sujets de concours).

Le voici (1981)

i.zitoussi

@john_john : Merci, c'est exactement ça. Tu dis élémentaire, mais je trouve que ce n'était pas si facile de devenir ingénieur à Marseille au début des années 80.

Sinon, la preuve qui apparaît dans le livre de S. Mongtgomery utilise un lemme clé de M. Sweedler, qui ne concerne pas seulement les polynômes / séries formelles.
La multiplication d'une algèbre associative $\mathrm{m} :A\otimes A\to A$ induit sur le dual une application $\mathrm{m}^*: A^*\to (A\otimes A)^*$. Le dual fini de $A$, noté $A^\circ$, est par définition l'ensemble des $f\in A^*$ telles que $\mathrm{m}^*f\in A^*\otimes A^*$ (en dimension finie, il n'y pas de distinction entre $A^\circ$ et $A^*$). Alors le lemme dit que :

$\mathrm{m}^*f\in A^*\otimes A^*$ si et seulement si $f$ s'annule sur un idéal de codimension finie de $A$.

Ensuite la preuve utilise ce lemme mais utilise aussi le langage des algèbres de Hopf, ce qui la rend difficilement communicable. Mais on devine comment les polynômes apparaissent : les idéaux de $A=\C[X]$ sont tous principaux et de codimension finie (à part l'idéal nul), donc une forme linéaire $f$ est dans le dual fini ssi $f( \;(p)\; )=0$ pour un certain polynôme $p\neq 0$, d'où la récurrence linéaire finie de ses coefficients, etc.

@b.b : Je ne vois pas trop comment continuer avec ta suggestion, ce qui ne veut pas dire que ce n'est pas possible !