Combinaison et élément nul de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$

nyadis

Bonjour, quelqu'un pourrait-il me dire pourquoi $\displaystyle\C_n^p$ n'est jamais un élément nul de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ lorsque $m>n$ ? 

Merci

verdurin

$\displaystyle\C_4^2\equiv 0 \pmod6$ et on a bien $6>4$.
 

nyadis

Merci pour le magnifique contre exemple ! 

J'ai sans doute oublié de préciser que $m$ est un nombre premier. 

gerard0

Dans ce cas, pour $p>0$, $\ C^p_n = \frac{n(n-1) \cdots (n-p+1)}{p!}$ donc ses facteurs premiers (*), diviseurs soit de $n$, soit de  $n-1$, ... soit de $n-p+1$ sont tous strictement inférieurs à $m$.  Le cas $p=0$ est évident.

Cordialement.
(*) obtenus après simplification de la fraction.

nyadis

Merci