Problème avec un calcul de limite
Bonjour tous le monde
Je suis bloqué sur une question analyse de limite. j'ai utilisé la méthode de conjugué mais je n'arrive pas trouver la réponse. Pouvez-vous me donner une astuce ?
Voici la question.
Je suis bloqué sur une question analyse de limite. j'ai utilisé la méthode de conjugué mais je n'arrive pas trouver la réponse. Pouvez-vous me donner une astuce ?
Voici la question.
lim x tend vers 0 de : (1-cos(alpha*x))/ (sqrt(4 - x^2)-sqrt(4+x^2)) = 16
Il faut trouver alpha
Il faut trouver alpha
Je vous remercie d'avance.
Cordialement.
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Réponses
Bonjour,
à quel niveau est-on dans cet exercice ?
Cordialement
le substantif : du calcul (sans « e »).
Tu peux utiliser : $1 - \cos(\alpha x) = 2 \sin^2\left(\frac{\alpha x}{2}\right)$.
$\alpha$ est forcément complexe puisque le premier membre de ton équation est négatif et le second est positif
($\alpha$ ne peut être nul)
ton équation s'exprime ainsi : $2sin^2\frac{\alpha.x}{2} = 16[\sqrt{4 - x^2} - \sqrt{4+x^2}]$
soit $sin^2\frac{\alpha.x}{2} = - \frac{16x^2}{\sqrt{4-x^2} + \sqrt{4+x^2}}$
tu passes à la limite lorsque x tend vers 0 : $limsin^2\frac{\alpha.x}{2} = lim\frac{(\alpha.x)^2}{4} = - lim4x^2$
par identification des membres : $\alpha$ est égal à plus ou moins 4i (imaginaire pur)
Cordialement
Pour ce qui est du calcul, avec les équivalents usuels je trouve comme les autres :
$$
\dfrac{1 - \cos(\alpha x)}{\sqrt{4 - x^2} - \sqrt{4 + x^2}} ~\underset{x \rightarrow 0}{\sim} - \alpha^2,\quad \text{avec} \quad \alpha \neq 0.
$$
Donc la limite vaut $- \alpha^2$ et en résolvant on trouve bien $\alpha = \pm 4i$.