Incompréhension d'un énoncé : idéaux

Sn

Bonsoir
Je me permets d'écrire ce poste car je ne comprends pas un point dans l'exercice suivant :

En effet, comment faut-il comprendre l'inclusion surlignée, car $p$ est un idéal de $A$ mais le produit cartésien d'idéaux de $A$ n'est pas inclus dans $A$ ?

Merci d'avance pour votre aide.
Sn

Math Coss

Par exemple, $I_1I_2$ est l'ensemble des sommes finies de produits $a_1a_2$ avec $a_1\in I_1$ et $a_2\in I_2$.

Thierry Poma

@Sn : bonsoir. Où vois-tu le produit cartésien d'idéaux ? Si $I$, $J$ et $K$ sont des idéaux de $A$, sais-tu décrire $IJK$ ? Sais-tu généraliser à une famille finie d'idéaux ?

Sn

ah oui, merci ! je ne sais ce qui m'a pris.

Sn

1) Supposons qu'il n'existe pas de $i$ tel que $1 \leq i \leq r$ et tel que $I_i \subset p$.
Il existe alors $a_i \in I_i\setminus p$ pour $1 \leq i \leq r$, et $\prod_{1 \leq i \leq r} a_i \in p$ par hypothèse.
Or, sachant que $p$ est premier, il existe un $i$ tel que $1 \leq i \leq r$ et tel que $a_i \in p$ : absurde