Un exercice type olympiades
Bonjour à tous
Vu cet exercice "ailleurs" sur lequel je me suis échiné en vain.
Vu cet exercice "ailleurs" sur lequel je me suis échiné en vain.
Soit $x,y,z$ trois réels strictement positifs tels que $x+y+z=1$. Montrer que :
$$\sqrt{\dfrac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y+zx}}\leq \dfrac{3}{2}.$$
Inégalité qu'on peut réécrire par souci d'homogénéité sous la forme :
$$\sqrt{\dfrac{xy}{(y+z)(z+x)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{(z+x)(x+y)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{(x+y)(y+z)}}\leq \dfrac{3}{2}$$
Il est fort probable qu'il faille utiliser des inégalités sophistiquées type olympiades.
$$\sqrt{\dfrac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y+zx}}\leq \dfrac{3}{2}.$$
Inégalité qu'on peut réécrire par souci d'homogénéité sous la forme :
$$\sqrt{\dfrac{xy}{(y+z)(z+x)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{(z+x)(x+y)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{(x+y)(y+z)}}\leq \dfrac{3}{2}$$
Il est fort probable qu'il faille utiliser des inégalités sophistiquées type olympiades.
J'ai posté ce sujet dans le sous-forum "Analyse". Peut-être eut-il mieux valu le poster en "Algèbre". La modération jugera.
Merci de m'avoir lu.
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Réponses
Je l'aurais plutôt réécrite ainsi
$$\sqrt{\dfrac{xy}{(1-x)(1-y)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{(1-y)(1-z)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{(1-z)(1-x)}}\leq \dfrac{3}{2}$$
Cordialement.
Inutile de se perdre dans des considérations générales plus ou moins oiseuses qui n'aboutissent à rien.
Merci à vous.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je te signale par ailleurs que tu as dans ton message initial indiqué
M'autorisez-vous à publier une solution sur cet "ailleurs" solution que je ne revendiquerai évidemment pas. Teigneux certainement mais malhonnête non.
Oui ou non ?
On peut, à partir de $x=vw,\dots$, poser $u={\rm tg}\,a,\dots$, où $a,b,c\in]0,\pi/2[$ et satisfont ${\rm tg }\,b\,{\rm tg }\,c+{\rm tg }\,c\,{\rm tg }\,a+{\rm tg }\,a\,{\rm tg }\,b=1$, c'est-à-dire $a+b+c=\pi/2+k\pi$, soit encore (ici) $a+b+c=\pi/2$. En outre, l'expression à majorer est $\sin a+\sin b+\sin c$.
La concavité du sinus sur $[0,\pi/2]$ entraîne alors la conclusion.
J'espère en outre que le concepteur de l'énoncé n'a pas fait le même chemin, mais à l'envers : partir de la concavité du sinus et brouiller les pistes par deux changements successifs de paramètres, ce qui ne serait que moyennement loyal. Si tel est le cas, je l'encourage à ne pas rester en si bon chemin : on peut remplacer $x+y+z=1$ par $X^2+Y^2+Z^2=1$ puis passer en coordonnées sphériques