Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

amafhh

Bonjour,
quelqu'un peut me donner le titre d'un bon livre (en anglais) dans lequel il y a le résultat de  l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson ?
Merci beaucoup.

gerard0

Bonjour.
Le résultat ou la preuve ? Car le résultat est connu (et assez évident : loi de Poisson de même moyenne) ; à moins que ce soit les conditions (n tend vers l'infini et np vers une limite finie) ?
Cordialement.

Lucas

Bonjour
Dans  Lectures on the coupling method de T.Lindvall tu trouveras tout ce qu'il te faut et pas plus, avec des bornes explicites.

amafhh

Merci pour tous,
je cherche seulement référence considérable et ne [non ?] pas la démonstration.

P.2

La démonstration figure en appendice 2 du cours de probabilités L2 du forum, elle est due à Le Cam, avec la référence au  Pacific Journal où elle a été publiée pour la première fois.

AP

Bonjour
S'il n'y a pas de problème pour la convergence de $B(n,p_n)$ vers $P(\lambda)$ lorsque $np_n$ tend vers $\lambda$,
pour ce qui est d'approcher une variable aléatoire binomiale par une variable aléatoire de Poisson, c'est -à-dire,
un couple $(n,p)$ étant donné, trouver $\lambda$ tel que  $C_{n}^{k}p^kq^{n-k}$ soit peu différent de $\lambda ^k \exp(-\lambda)/k!$ pour tout entier $k \leq n$ c'est autre chose : ça me paraît même impossible.

On voit que pour $k=0$  cela implique, si $p$ petit, que $\lambda$ soit peu différent de $np$.
Mais si on prend $\lambda =np$ on voit vite que ça  ne va plus lorsque $k$ augmente.
Par exemple pour $n=50,p=0.025$ et on notant $E_k$ l'erreur relative commise en remplacant  $C_{n}^{k}p^kq^{n-k} $ par $(np)^k \exp(-np)/k!$ on obtient

$E_0=1.6 \%$ ; $E_0=\exp(-np)/(1-p)^n-1$

$E_1=-0.94 \%$
$E_2=-1.44 \%$
$E_3=0.096 \%$
$E_4=3.8 \%$
$E_5=10 \%$
$E_6=19.2 \%$
$E_7=32 \%$

$E_{20}=4993 \% $
$E_k$ est croissant à partir de $k\geq 2$

gerard0

Bonjour. 
L'approximation concrète n'est utilisable que aux alentours de la moyenne. De toutes façons, la loi binomiale a un support fini, pas la loi de Poisson. 

Cordialement.