Un théorème d'Emile Lemoine
Dans un triangle ABC, si la distance de B à la
hauteur partant de C égale la distance de B au diamètre du cercle circonscrit
partant de A, la hauteur partant de A et la symédiane partant de B se coupent
sur la bissectrice intérieure de C si les angles B et C sont aigus, sur la
bissectrice extérieure de C si l'un des deux est obtus.
Une figure jointe pour une éventuelle démonstration que je ne possède pas.
Par contre, on peut toujours construire le lieu des sommets C après avoir fixé A et B : on obtient une belle sextique.
Par contre, on peut toujours construire le lieu des sommets C après avoir fixé A et B : on obtient une belle sextique.
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Réponses
C'est plus qu'il n'en faut pour achever cet exercice !
Amicalement
pappus
J'aime beaucoup les formulations "la distance de $B$ à la hauteur partant de $C$" et "la distance de $B$ au diamètre du cercle circonscrit partant de $A$", manières élégantes de nous faire prendre des choses très simples pour bien plus compliquées qu'elles ne sont.
Bien cordialement. Poulbot
le fait que BH = BK induit-il une particularité sur la figure?
Sincèrement
Jean-Louis
O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
La droite AO recoupe le cercle (O) en en K ; le cercle de centre B passant par K coupe le segment AB en H ; la perpendiculaire en H à la droite AB coupe le cercle (O) en deux points C1 et C2 qui conviennent chacun pour troisième sommet.
Dans un repère tel que A (0 ;1) et B (0 ; -1), on cherche l’équation du lieu des sommets C (x, y) en fonction du point O (t ;0) libre sur la médiatrice de [AB].
H (0 ; h) est le pied de la hauteur issue du sommet C, et H’ (0 ; -2-h) est sont symétrique par rapport au point B.
Pour le cercle (O) on a x² + y² +2tx – 1 = 0, d'où t² = (x²+y² -1) /4x²
Posant l’angle OAO’ égal à u, on a t = tan(u).
t = BK/AK = BH/AK et AK² = AH.AH’ . D’où : t² = (h + 1) ² /[(1-h) (3+h)].
Puisque h est aussi l’ordonnée des points C :
(x² + y² -1)² (1 – y) (3 + y) – 4x²(y + 1)² = 0
en fait il faut prendre l'équivalence en sens inverse...on applique le théorème de Ceva, on remplace les longueurs par les a, b, c, <B, <C du triangle ABC, on simplifie et on conclut...
Sincèrement
Jean-Louis
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/62. 10. Emile Lemoine.pdf
Sincèrement
Jean-Louis
Bien sincèrement,
JLB.
Je dois dire merci à Pappus et à Jean Louis.
Je ne pouvais venir à bout de la démonstration car je ne connaissais pas le rapport dans lequel la symédiane coupait le côté !