Démonstration non comprise

Xavier Var

Bonjour.

Je ne parviens pas à comprendre une partie dans la démonstration ci-dessous : 



Je ne vois pas en quoi le fait que la suite u - r tende vers 0 aboutit à une contradiction. La stricte croissance n'est pas remise en cause au contraire elle a été utilisée pour établir les inégalités. Comme il s'agit de suites de rationnelles, certains théorèmes dans le cadre des suites réelles ne s'appliquent plus. 

Noveang

Bonjour
Si je comprends bien, je pense que la contradiction vient du passage à la limite quand $m$ tend vers $+\infty$. Après le passage à la limite en $m$ on a : $$
0 \geq u_{n+1} - r > u_n - r \geq 0,
$$ i.e. $0 > 0$.

Xavier Var

Bonjour @Noveang.
Donc l'auteur aurait dû écrire "m" au lieu de "n" au niveau de l'indice car tu n'as pas utilisé le fait que la suite u - r tende vers 0.

Noveang

L'indice étant muet ça ne change en théorie rien, mais étant donné que $n$ est déjà pris, et justement fixé au profit de $m$, il aurait effectivement était plus commode d'utiliser le fait que $(u_m - r)_{m \in \mathbb{N}}$ tende vers $0$ en lieu et place de $(u_n - r)_{n \in \mathbb{N}}$.

Xavier Var

Ok, merci à toi d'avoir [pris] le temps de répondre ! 

Amédé

Est-ce que $\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$ suffit pour dire que $\Q$ n'est pas complet? Visiblement si $u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k^2}}$ converge, c'est donc une suite de Cauchy, qui plus est à valeurs dans $\Q$ qui ne converge pas dans $\Q$

Dom

Oui.
Une remarque : la culture générale veut que l’on accepte que $\pi$ est irrationnel. Peut-on accepter que « $\pi^2$ irrationnel aussi » soit admis également ? Ou toute autre puissance entière de $\pi$ (d’ailleurs je ne sais pas démontrer ce dernier point, ni même si c’est vrai… même si je pense que ça l’est). 

Une autre remarque : l’intérêt des suites de Cauchy est de pouvoir travailler sans avoir une idée des limites réelles desdites suites. 

Ici, on triche un peu, si on fait ça. 

L’idée du document, c’est justement de ne pas écrire cette limite. 

JLapin

Amédé a dit :

Est-ce que $\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$ suffit pour dire que $\Q$ n'est pas complet?

Pourquoi pas, mais c'est infiniment plus compliqué de mettre tout ceci en place (rien que la définition de $\pi$...) que la preuve proposée dans le message d'origine.

Rescassol

Bonsoir,

Si $\pi^k$ pour $k$ entier était rationnel, donc algébrique, il serait racine d'un polynôme à coefficients entiers, donc $\pi$ aussi, qui serait alors algébrique également, ce qui n'est pas le cas.

Cordialement,
Rescassol

Dom

Ha oui, c’est assez simple finalement. 😳