Arithmétiques de Diophante, Livre IV, 19

LeTamanoir

Bonjour,

Dans son livre Pour l'honneur de l'esprit humain Dieudonné évoque un problème posé et résolu par Diophante : trouver 3 entiers x, y et z tels que

xy + 1= u², yz + 1 = v² et xz + 1 = w², où u, v et w sont des entiers à déterminer. D'après une traduction des Arithmétiques (Livre IV, 19) Diophante aurait proposé x, y = a²x+2a et z = (a+1)²x+2(a+1).

Effectivement xy + 1  = (ax+1)², xz + 1 = ((a+1)x+1)² et yz+1 = (a(a+1)x +2a+1)².

Cependant ce résultat n'épuise pas toutes les solutions. Par exemple il fournit (3,56,85) avec x=3 et a=4 mais ignore (3,56,33) qui pourtant est également une solution.

Ma question est de savoir si ce problème a été revisité depuis Diophante avec une solution plus générale que celle proposée initialement (au 3ème siècle de notre ère). À défaut d'une référence historique je serais ravi que l'un d'entre vous me propose une solution générale.

etanche

Il y a divers sites sur ces équations, peut-être en faisant une lecture minutieuse tu auras ce que tu cherches
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/quint.html
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/ratio.html
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/fib.html
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1184227_the_system_is_an_arithmetic_progression
De nombreux articles sur la page Andrej Dujella spécialiste de ces équations 
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/papers.html

Référence https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/ref.html

LeTamanoir

Merci beaucoup pour toutes ces références.