Arithmétiques de Diophante, Livre IV, 19
Bonjour,
Dans son livre Pour l'honneur de l'esprit humain Dieudonné évoque un problème posé et résolu par Diophante : trouver 3 entiers x, y et z tels que
xy + 1= u², yz + 1 = v² et xz + 1 = w², où u, v et w sont des entiers à déterminer. D'après une traduction des Arithmétiques (Livre IV, 19) Diophante aurait proposé x, y = a²x+2a et z = (a+1)²x+2(a+1).
Effectivement xy + 1 = (ax+1)², xz + 1 = ((a+1)x+1)² et yz+1 = (a(a+1)x +2a+1)².
Cependant ce résultat n'épuise pas toutes les solutions. Par exemple il fournit (3,56,85) avec x=3 et a=4 mais ignore (3,56,33) qui pourtant est également une solution.
Ma question est de savoir si ce problème a été revisité depuis Diophante avec une solution plus générale que celle proposée initialement (au 3ème siècle de notre ère). À défaut d'une référence historique je serais ravi que l'un d'entre vous me propose une solution générale.
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Réponses
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/quint.html
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/ratio.html
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/fib.html
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1184227_the_system_is_an_arithmetic_progression
De nombreux articles sur la page Andrej Dujella spécialiste de ces équations
https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/papers.html