Le plus grand entier d'une certaine forme dans un intervalle d'entier
Dans la suite on notera $p_1, p_2, \ldots \in \mathbb{P}$ la suite ordonnée des nombres premiers.
Les nombres entiers se répartissent en fonction de leurs décomposition en facteurs premiers. En particulier, si on se donne $N$ un entier naturel, on peut facilement trouver le plus grand entier ayant pour seul facteur premier, un certain nombre premier $p$ dans l'intervalle d'entiers $[\![ 1,N ]\!]$, ce nombre sera $p^{\lfloor \log_p(N) \rfloor}$.
Les nombres entiers se répartissent en fonction de leurs décomposition en facteurs premiers. En particulier, si on se donne $N$ un entier naturel, on peut facilement trouver le plus grand entier ayant pour seul facteur premier, un certain nombre premier $p$ dans l'intervalle d'entiers $[\![ 1,N ]\!]$, ce nombre sera $p^{\lfloor \log_p(N) \rfloor}$.
Problème global
On pourrait étendre la remarque ci-dessus, en considérant $p_{\alpha_1}, p_{\alpha_2},\ldots , p_{\alpha_k}$ une sous-famille finie de l'ensemble des nombres premiers, et en se demandant : Si on prend $N$ un entier naturel, quel est le plus grand entier ayant pour facteurs premiers $p_{\alpha_1}, p_{\alpha_2}, \ldots , p_{\alpha_k}$ dans $[\![ 1,N ]\!]$ (on pourra éventuellement s'autoriser des valuations $p$-adique nulles ?
On pourrait étendre la remarque ci-dessus, en considérant $p_{\alpha_1}, p_{\alpha_2},\ldots , p_{\alpha_k}$ une sous-famille finie de l'ensemble des nombres premiers, et en se demandant : Si on prend $N$ un entier naturel, quel est le plus grand entier ayant pour facteurs premiers $p_{\alpha_1}, p_{\alpha_2}, \ldots , p_{\alpha_k}$ dans $[\![ 1,N ]\!]$ (on pourra éventuellement s'autoriser des valuations $p$-adique nulles ?
On peut interpréter géométriquement le problème, en considérant l'équation limite de l'hyperplan :
$$\forall x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{R},\quad x_1 \ln(p_1) + x_2 \ln(p_2) + \cdots + x_k \ln(p_k) = \ln(N) $$
Le problème reviendrait alors à déterminer le point à coordonnées entières (positives) qui serait le plus proche de cet hyperplan (qui en minimiserait la distance).Problème pour 2 facteurs premiers
Limitons-nous au cas de deux facteurs premiers, et pour commencer nous pourrons prendre les plus petits : $2$ et $3$. Donc soit $N$ un entier naturel, on cherche les entiers $a$ et $b$ tels que $2^a 3^b < N$ soit le plus grand entier de cette forme juste avant N.
L'équation de la droite s'écrit alors dans ce cas : $$ y = -x \log_2(3) + \mathbb{log}_2(N). $$
Cette droite coupe l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses en certains points, si bien qu'elle délimite dans le quart supérieur à droite du plan, un triangle (formé de la droite et des deux axes), dont ses points à coordonnées entières sont les solutions potentielles du problème. La droite, coupe en particulier l'axe des abscisses au point $ x = \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)}$ et donc les coordonnées entières possibles pour l’abscisse sont les entiers de l'intervalle $[\![ 0, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor ]\!] $.
De plus, pour chaque abscisse $x_0$ de cet intervalle d'entier, le point à coordonnées entières le plus proche de la droite, est le point d'ordonnée $\lfloor - x_0 \log_2(3) + \log_2(N) \rfloor$. Ainsi, les "points solutions" ont pour coordonnées $(x_0, \lfloor - x_0 \log_2(3) + \log_2(N) \rfloor)$ pour $x_0 \in [\![ 0, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor ]\!] $. Le plus grand entier solution sera donc de la forme $2^{x_0} 3^{ \lfloor - x_0 \log_2(3) + \log_2(N) \rfloor } $.
On constate donc que le point minimisant la distance à la droite, et donc le point solution, est exactement l'entier $m$ parmi $\left\{ 0, \ldots, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor \right\}$ qui minimise la partie fractionnaire $\left\{ \alpha m + \beta \right\}$. Il est intéressant de remarquer que les expressions de $\alpha$ et $\beta$ font intervenir des logarithmes et sont donc des nombres irrationnels.
2. Introduction d'une suite
Pour étudier le minimum $ \min_{m \in \left\{ 0, \ldots, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor \right\}}\left\{ \alpha m + \beta \right\}$. On introduit, une suite définie par récurrence par :
$$u_0 = \beta\quad\text{et}\quad \forall n > 0,\ u_{n + 1} = \left\{ \alpha \left( 1 + \lfloor \frac{1 - u_n}{\alpha} \rfloor \right) + u_n \right\} $$
Cette suite provient du fait que certaines parties fractionnaires ne peuvent pas être le minimum à coup sûr, sachant que la partie fractionnaire est croissante sur $[0,1[$, on a que $\left\{ \alpha m + \beta \right\} < \left\{ \alpha (m + 1) + \beta \right\}$ si $\alpha (m + 1) + \beta$ ne dépasse pas tout juste une unité. On se contente juste d'observer les parties fractionnaires qui dépassent tout juste une unité.
Limitons-nous au cas de deux facteurs premiers, et pour commencer nous pourrons prendre les plus petits : $2$ et $3$. Donc soit $N$ un entier naturel, on cherche les entiers $a$ et $b$ tels que $2^a 3^b < N$ soit le plus grand entier de cette forme juste avant N.
L'équation de la droite s'écrit alors dans ce cas : $$ y = -x \log_2(3) + \mathbb{log}_2(N). $$
Cette droite coupe l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses en certains points, si bien qu'elle délimite dans le quart supérieur à droite du plan, un triangle (formé de la droite et des deux axes), dont ses points à coordonnées entières sont les solutions potentielles du problème. La droite, coupe en particulier l'axe des abscisses au point $ x = \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)}$ et donc les coordonnées entières possibles pour l’abscisse sont les entiers de l'intervalle $[\![ 0, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor ]\!] $.
De plus, pour chaque abscisse $x_0$ de cet intervalle d'entier, le point à coordonnées entières le plus proche de la droite, est le point d'ordonnée $\lfloor - x_0 \log_2(3) + \log_2(N) \rfloor$. Ainsi, les "points solutions" ont pour coordonnées $(x_0, \lfloor - x_0 \log_2(3) + \log_2(N) \rfloor)$ pour $x_0 \in [\![ 0, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor ]\!] $. Le plus grand entier solution sera donc de la forme $2^{x_0} 3^{ \lfloor - x_0 \log_2(3) + \log_2(N) \rfloor } $.
- Minimisation de la distance à la droite
On constate donc que le point minimisant la distance à la droite, et donc le point solution, est exactement l'entier $m$ parmi $\left\{ 0, \ldots, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor \right\}$ qui minimise la partie fractionnaire $\left\{ \alpha m + \beta \right\}$. Il est intéressant de remarquer que les expressions de $\alpha$ et $\beta$ font intervenir des logarithmes et sont donc des nombres irrationnels.
2. Introduction d'une suite
Pour étudier le minimum $ \min_{m \in \left\{ 0, \ldots, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor \right\}}\left\{ \alpha m + \beta \right\}$. On introduit, une suite définie par récurrence par :
$$u_0 = \beta\quad\text{et}\quad \forall n > 0,\ u_{n + 1} = \left\{ \alpha \left( 1 + \lfloor \frac{1 - u_n}{\alpha} \rfloor \right) + u_n \right\} $$
Cette suite provient du fait que certaines parties fractionnaires ne peuvent pas être le minimum à coup sûr, sachant que la partie fractionnaire est croissante sur $[0,1[$, on a que $\left\{ \alpha m + \beta \right\} < \left\{ \alpha (m + 1) + \beta \right\}$ si $\alpha (m + 1) + \beta$ ne dépasse pas tout juste une unité. On se contente juste d'observer les parties fractionnaires qui dépassent tout juste une unité.
Et on a en particulier que :
$$ \min_{m \in \left\{ 0, \ldots, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor \right\}} \left\{ \alpha m + \beta \right\} = \min_{n \in G_N} u_n ,$$ pour un certain ensemble $G_N$ que l'on pourrait déterminer.
Comme nous allons le voir, la suite $(u_n)_{\mathbb{N}}$ n'est pas si affreuse que ça.
3. Propriétés de la suite $(u_n)_{\mathbb{N}}$
Voici les quelques propriétés de la suite que j'ai pu mettre en évidence.
$$ \min_{m \in \left\{ 0, \ldots, \lfloor \frac{\log_2(N)}{\log_2(3)} \rfloor \right\}} \left\{ \alpha m + \beta \right\} = \min_{n \in G_N} u_n ,$$ pour un certain ensemble $G_N$ que l'on pourrait déterminer.
Comme nous allons le voir, la suite $(u_n)_{\mathbb{N}}$ n'est pas si affreuse que ça.
3. Propriétés de la suite $(u_n)_{\mathbb{N}}$
Voici les quelques propriétés de la suite que j'ai pu mettre en évidence.
Propriété 1 :$$ \forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n + 1} = \alpha \left( 1 - \left\{ \frac{1 - u_n}{\alpha} \right\} \right) .$$
Propriété 2 : (Variations de la suite)
Soit $n \in \mathbb{N}$,
si $u_n \le \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\} $ alors $ u_{n + 1} > u_n$
si $u_n > \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$ alors $u_{n + 1} \le u_n$
Propriété 3 : (Suite "arithmétique par morceaux")
Soit $n \in \mathbb{N}$
si $u_n \le \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$ alors $u_{n + 1} = u_n + \alpha \left(1 - \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\} \right)$
si $u_n > \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$ alors $u_{n + 1} = u_n - \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\} $
Soit $n \in \mathbb{N}$,
si $u_n \le \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\} $ alors $ u_{n + 1} > u_n$
si $u_n > \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$ alors $u_{n + 1} \le u_n$
Propriété 3 : (Suite "arithmétique par morceaux")
Soit $n \in \mathbb{N}$
si $u_n \le \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$ alors $u_{n + 1} = u_n + \alpha \left(1 - \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\} \right)$
si $u_n > \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$ alors $u_{n + 1} = u_n - \alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\} $
Ainsi la suite n'est au final qu'une suite arithmétique "par morceaux", par rapport à un certain seuil $\alpha \left\{ \frac{1}{\alpha} \right\}$. J'ai l'impression que puisque $\alpha$ est irrationnel, et que $N$ est fini. Il va être possible de tronquer suffisamment $\alpha$ pour que au final dans l'intervalle $\left\{ 0, \ldots, N \right\}$ tout se passe comme si $\alpha$ était rationnel. Autre remarque, il me semble possible de trouver au final, le minimum de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans la mesure où, en observant graphiquement comment se comporte la suite $(u_n)_{n \mathbb{N}}$, on peut voir que en fait les minimums locaux de la suite s'alignent sur une droite décroissante (pas étonnant au final pour une suite arithmétique par morceaux). Il suffirait donc de réussir à déterminer cette droite des "minimum locaux", pour réussir au final à trouver dans l'intervalle adapté pour le problème, le terme de la suite le plus grand qui serait sur cette droite (le plus grand car la droite est décroissante, donc ce terme de la suite sera le minimum des minimums locaux, donc le minimum global).
Si vous avez des pistes pour résoudre ceci, j'aimerais bien de l'aide.
Merci, Azoth
Merci, Azoth
[$\LaTeX$ fournit les commandes \ln, \log, \min qui gèrent les espacements. AD]
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