Compacité séquentielle et espace métrique

LoloDJ

Bonjour

J'ai trouvé ce lemme dans un ouvrage :

Est-ce que quelqu'un saurait me l'expliquer ?

raoul.S

Tu as $X=\bigcup_{j\in I} U_j$ donc il existe $i\in I$ tel que $x\in U_i$. Mais $U_i$ est ouvert, donc il existe une boule centrée en $x$ et contenue dans $U_i$ (c'est par définition d'un ouvert dans un espace métrique). On note $B(x,r)$ cette boule avec $r>0$.

LoloDJ

ah mais oui, oh là là, quel âne bâté je suis, effectivement j'ai vu ça en mathspé

Merci infiniment.

LoloDJ

Autre question : comment démontrer dans un espace métrique, que si toute partie infinie admet au moins un point d'accumulation, alors l'espace est séquentiellement compact ?

J'ai vu cela dans un ouvrage, c'est sûrement évident car l'ouvrage ne prend pas la peine de le démontrer... mais j'aimerais bien en avoir la justification

raoul.S

Il faut juste montrer que de toute suite on peut extraire une sous-suite convergente. Essaie de le faire c'est très facile.

gebrane

raoul.S a dit :

Il faut juste montrer que de toute suite on peut extraire une sous-suite convergente. 

Mais c'est la définition de la compacité séquentielle que je connais dans un espace topologique . Ca a changé depuis ?

LoloDJ

Bonjour,

Ok, j'ai tenté cette petite démonstration : est-ce que tu valides ?

raoul.S

Disons que l'on voit que tu as compris mais la rédaction n'est pas top. Plus précisément suivant ta construction, à chaque indice $i$ va correspondre un indice $n_i$ tel que $y_i=x_{n_i}$ (même si tu ne le dis pas). Le problème c'est que rien ne garantit que la suite $n_1,n_2,...$ ainsi obtenue soit strictement croissante afin de garantir que tu obtiens bien une suite extraite. Il faut juste modifier un peu... c'est des détails "techniques".

@gebrane non ça n'a pas changé, je le rappelais juste pour dire que ce n'était pas très compliqué.

gebrane

Merci raoul pour ta réponse

LoloDJ

Ok, merci Raoul.S, j'ai fait des modifications en rouge :

Est-ce que c'est mieux comme ça ?

Merci pour ta vigilance en tous cas.

raoul.S

PS. j'enlèverais juste le partie au début ou tu dis que $(x_n)$ est constante ou cyclique, car si par cyclique tu veux dire périodique alors c'est faux. Il suffit de dire que $\{x_n\mid n\in \N\}$ est fini et que par conséquent on peut extraire une sous-suite constante (qui est convergente) car il y a forcément un terme qui se répète une infinité de fois.

LoloDJ

Oui, ok. effectivement, c'est "périodique" que je voulais dire. Effectivement, il suffit de dire que l'ensemble {xn∣n∈N} est fini.
Merci, ça m'aide bien.