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Compacité séquentielle et espace métrique

Modifié (November 2022) dans Topologie
Bonjour
J'ai trouvé ce lemme dans un ouvrage :
Est-ce que quelqu'un saurait me l'expliquer ?
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Réponses

  • Modifié (November 2022)
    Tu as $X=\bigcup_{j\in I} U_j$ donc il existe $i\in I$ tel que $x\in U_i$. Mais $U_i$ est ouvert, donc il existe une boule centrée en $x$ et contenue dans $U_i$ (c'est par définition d'un ouvert dans un espace métrique). On note $B(x,r)$ cette boule avec $r>0$.
  • Modifié (November 2022)
    ah mais oui, oh là là, quel âne bâté je suis, effectivement j'ai vu ça en mathspé
    Merci infiniment.
  • Modifié (November 2022)
    Autre question : comment démontrer dans un espace métrique, que si toute partie infinie admet au moins un point d'accumulation, alors l'espace est séquentiellement compact ?
    J'ai vu cela dans un ouvrage, c'est sûrement évident car l'ouvrage ne prend pas la peine de le démontrer... mais j'aimerais bien en avoir la justification
  • Il faut juste montrer que de toute suite on peut extraire une sous-suite convergente. Essaie de le faire c'est très facile.
  • Modifié (November 2022)
    raoul.S a dit :
    Il faut juste montrer que de toute suite on peut extraire une sous-suite convergente. 
    Mais c'est la définition de la compacité séquentielle que je connais dans un espace topologique . Ca a changé depuis ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Bonjour,
    Ok, j'ai tenté cette petite démonstration : est-ce que tu valides ?

  • Modifié (November 2022)
    Disons que l'on voit que tu as compris mais la rédaction n'est pas top. Plus précisément suivant ta construction, à chaque indice $i$ va correspondre un indice $n_i$ tel que $y_i=x_{n_i}$ (même si tu ne le dis pas). Le problème c'est que rien ne garantit que la suite $n_1,n_2,...$ ainsi obtenue soit strictement croissante afin de garantir que tu obtiens bien une suite extraite. Il faut juste modifier un peu... c'est des détails "techniques".

    @gebrane non ça n'a pas changé, je le rappelais juste pour dire que ce n'était pas très compliqué.
  • Merci raoul pour ta réponse
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Ok, merci Raoul.S, j'ai fait des modifications en rouge :

    Est-ce que c'est mieux comme ça ?
    Merci pour ta vigilance en tous cas.
  • Modifié (November 2022)
    :+1:

    PS. j'enlèverais juste le partie au début ou tu dis que $(x_n)$ est constante ou cyclique, car si par cyclique tu veux dire périodique alors c'est faux. Il suffit de dire que $\{x_n\mid n\in \N\}$ est fini et que par conséquent on peut extraire une sous-suite constante (qui est convergente) car il y a forcément un terme qui se répète une infinité de fois.
  • Modifié (November 2022)
    Oui, ok. effectivement, c'est "périodique" que je voulais dire. Effectivement, il suffit de dire que l'ensemble {xn∣n∈N} est fini.
    Merci, ça m'aide bien.
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