Une curieuse limite

Azoth

Bonjour
Je m'intéresse actuellement au problème suivant.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. Déterminer la limite suivante : 
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^n \left\{ \alpha k + \beta \right\}, $$
où bien sûr les, accolades désignent la partie fractionnaire.

On sait bien sûr que la limite existe et qu'elle est comprise entre $0$ et $1$. On peut se restreindre aux $\alpha$ et $\beta$ entre $0$ et $1$ sachant que si ils ne sont pas entre $0$ et $1$, on pourrait toujours se ramener à cela, en considérant leur partie fractionnaire.

Le cas le plus général que j'ai réussi à aborder il me semble est le cas où $\alpha$ est un nombre rationnel et $\beta$ un nombre quelconque. Dans ce cas, on peut écrire $ \alpha = \frac{a}{b} $, avec $a$ et $b$ premier entre eux, et aussi $a < b$ (si $a > b$, on peut effectuer écrire $a = qb + r$ avec $ 0  \le r \le b-1$) et alors on se ramène à la partie fractionnaire de $ \left\{ qk + \frac{r}{b} k + \beta \right\} = \left\{ \frac{r}{b} k + \beta \right\} $.

Donc parmi les $k$ (on pourra prendre $n$ arbitrairement plus grand que $b$) parcourant $0, \ldots, n$, les parties fractionnaires $ \left\{ \alpha k + \beta \right\}$ ne prennent que $b$ valeurs distinctes et un nombre de fois égal $\lfloor \frac{n - k}{b} \rfloor$.
Donc on peut réécrire la limite :
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^n \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{b-1} \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} \lfloor \frac{n - k}{b} \rfloor $$ D'où : $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^n \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{b-1} \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} \left( \frac{n-k}{b} - \left\{ \frac{n - k}{b} \right\} \right)$$
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^n \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} = \frac{1}{b} \sum_{k = 0}^{b-1} \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} $$
J'ai un peu détaillé, pour avoir un retour sur la validité de ce résultat, même si il me semble juste.

En particulier on peut remarquer que si on prend : $\beta = 0$ et $\alpha = \frac{1}{p}$ pour un certain $p$ entier naturel, on a :
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^n \left\{ \frac{a}{b} k + \beta \right\} = \frac{1}{p} \sum_{k = 0}^{p-1} \frac{k}{p} = \frac{1}{2} \frac{p-1}{p}$$
Et donc lorsqu'on fait tendre $p$ vers l'infini, on trouve $\frac{1}{2}$.

Conjectures.
J'ai parlé du petit cas particulier précédent pour mettre en évidence un résultat que je vois sur les différents graphiques que j'ai vu, j'ai l'impression que quelque soit $\beta$, lorsque $\alpha$ est rationnel avec un dénominateur assez grand, alors la limite va tendre vers $\frac{1}{2}$.
De plus, sachant que l'on peut approximer un nombre irrationnel, par des nombres rationnels aux dénominateurs toujours plus grand, voici ma question : si on prend $\alpha$ irrationnel, est-ce que la limite initiale sera forcément égale à $\frac{1}{2}$ ?

Merci pour vos retours,
Azoth

Bibix

Bonsoir,
Je trouve tes observations intéressantes car je ne comprends pas comment c'est possible. Il me semblait à première vue que si $\alpha$ est rationnel, alors la limite est $\{\beta\}$ (Ok c'est bon, j'avais lu une autre suite). Et si $\alpha$ est irrationnel, intuitivement je dirais que ce serait plutôt $\frac{1}{2}$ comme ce que tu conjectures.
Tu pourrais décrire les différents $\alpha, \beta$ que tu as testé ?

MrJ

Tu devrais regarder du côté de la notion de suite équidistribuée modulo 1.

Je pense que le rôle de $\beta$ est secondaire, par contre le point clé est la condition $\alpha\notin\Q$.

La limite que tu trouves provient de 
$$\frac12=\int_0^1 x~\mathrm{d}x.$$

Azoth

Azoth

Bonsoir, voici quelques exemples des tests que j'ai pu faire :

jean lismonde

Bonsoir

Cela ressemble fort à une moyenne calculée
au sens de Cesàro entre deux nombres compris entre 0 et 1
il reste à le formaliser précisément

tout cela est à rapprocher de la limite
que j'ai donnée à plusieurs reprises sur le forum
limite pour n infinie de |cos(n)| = 1/2
la limite pour |sin(n)| est la même

Cordialement

Bibix

Ah d'accord, quand tu disais que la limite tendait vers $\frac{1}{2}$, c'est quand $b \to +\infty$. Effectivement, je comprends mieux (et la raison est donnée au dessus).

Azoth

Merci !

Je ne m'attendais pas vraiment à ce résultat, dans la mesure où au final, la valeur de alpha (irrationnel) et beta ne rentrent pas en compte dans la valeur de la limite.

noix de totos

Il y a bien sûr le résultat suivant, dû à Bohr, Sierpinsky et Weyl : si $f$ est continue presque partout sur $[0,1]$ et si $\alpha$ est irrationnel, alors, lorsque $n \to + \infty$
$$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \{ \alpha k \} \right) \sim \int_0^1 f(t) \textrm{d}t.$$
On peut être plus précis si l'on en sait plus sur la nature arithmétique de $\alpha$. Par exemple, s'il est irrationnel et algébrique, alors un résultat dû à Pinner (1997) implique que, pour tout $\varepsilon > 0$
$$\sum_{k \leqslant n} \{ \alpha k + \beta \} = \frac{n}{2} + O_{\varepsilon,\alpha} \left( n^{\varepsilon} \right).$$
En revanche, si $\alpha$ est rationnel, alors on peut avoir des formules exactes : par exemple avec cette somme due à Kubert
$$\sum_{k=1}^{n-1} \left \{ \frac{km}{n} + \frac{x}{n} \right\} = \frac{n-(m,n)}{2} + (m,n) \left \{ \frac{x}{(m,n)} \right \} - \left \{ \frac{x}{n} \right \}$$
valide pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Azoth

Merci pour ces détails et références 

gebrane

Au cas où le $\beta$ te gene https://en.wikipedia.org/wiki/Equidistribution_theorem

Azoth

Bonjour
Merci pour ce théorème. Est-il relié au théorème des trois longueurs  ?
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_trois_longueurs
Cordialement.

gebrane

Je ne vois pas de lien même s'ils partagent  la notion de l'equidistribution