Précompacité

LoloDJ

J'ai une question sur la précompacité : dans un ouvrage (Charvet) j'ai vu que la définition d'un espace métrique précompact c'est que quelle que soit la valeur de r strictement positif on peut trouver une famille finie de boules ouvertes de rayon r dont la réunion fait tout l'espace.

Mais ailleurs sur internet, j'ai vu qu'en fait il s'agissait de boules fermées.

D'où ma question : quelle est la bonne définition ?

J'ai une idée de la réponse, c'est que ce serait les deux mon général : dans ce cas, même si c'est trivial, ça ne l'est pas pour moi, pourrais-je avoir une petite démonstration que les deux sont équivalents ?

D'autre part, j'ai lu quelque part (Charvet toujours) que si une partie d'un espace métrique est précompacte alors son adhérence l'est aussi. À nouveau ça a l'air trivial, mais cela ne l'est pas pour moi : quelqu'un aurait-il l'amabilité de me le démontrer ?

raoul.S

LoloDJ a dit : 

D'autre part, j'ai lu quelque part (Charvet toujours) que si une partie d'un espace métrique est précompacte alors son adhérence l'est aussi. A nouveau ça a l'air trivial, mais cela ne l'est pas pour moi : quelqu'un aurait-il l'amabilité de me le démontrer ?

Soit $E$ un espace métrique et $A\subset E$ précompact. Pour tout $r>0$ il existe une famille finie de boules fermées de rayon $r$, disons $(B_1,...,B_n)$ telle que $A\subset \bigcup_{k=1}^n B_k$. Or $\bigcup_{k=1}^n B_k$ est fermé (car union finie de fermés) donc $\overline{A}\subset\bigcup_{k=1}^n B_k$ car $\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$.

Sinon pour ta première question, les deux définitions sont bien équivalentes.

Foys

Exo: il y a équivalence pour un espace métrique $X$ entre:

1°) $X$ est précompact

2°) de toute suite de $X$ on peut extraire une suite de Cauchy

3°) le complété de $X$ est compact.

LoloDJ

Merci Raoul.S, cela me semble très clair effectivement si l'on admet l'équivalence entre les deux définitions.

Pour démontrer que les deux définitions sont équivalentes, je pensais faire ce raisonnement :

Est-ce que cela vous paraît correct ?

Pour la définition d'une partie précompacte d'un espace métrique, il suffit qu'elle soit recouverte par une réunion de boules, donc l'inclusion suffit.

raoul.S

Oui c'est correct. Il faut juste dire que $J$ est fini même si ça n'intervient pas dans la preuve de l'équivalence.

PS. un petit détail qui n'apporte rien ici : dans un espace métrique $(E,d)$, une boule fermée de centre $x$ et de rayon $r>0$ est par définition l'ensemble $B_f(x,r):=\{y\in E\mid d(x,y)\leqslant r\}$ et non pas l'adhérence de la boule ouverte $\overline{B(x,r)}$. En effet, on vérifie facilement que $\overline{B(x,r)}\subset B_f(x,r)$ mais il n'y a pas égalité en général.

LoloDJ

Merci pour ce rappel, effectivement il faut que je sois plus précis.