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Question sur les intégrales

Modifié (24 Nov) dans Analyse
Bonjour tous,
question : est-ce qu'une fonction continue par morceaux et intégrable sur R est  intégrable en valeur absolue ?
Merci de vos aides.  s-u
B
onne soirée.

Réponses

  • Puisque ce n 'est pas vrai pour une fonction continue; pourquoi le serait vrai pour une fonction continue par morceaux ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • C'est la définition : dire qu'une fonction est intégrable, c'est dire que l'intégrale de sa valeur absolue (ou son module) est finie.
  • Bonsoir, Siméon,
    normalement, oui, parce que la définition de intégrable se fait (quel que soit l'intervalle qui n'est pas un segment) avec $\displaystyle\int_I|f|<+\infty$ ; sinon, on parlerait de semi-intégrabilité lorsque  $\displaystyle\int_X^Yf$ admet une limite aux bornes $(X$ tendant vers $\inf I$ et $Y$ vers $\sup I$).

    Bonne soirée, j__j
  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour, que signifie intégrable sur $\mathbb{R}$ pour toi ?
    Ce n'est pas le cas si intégrable signifie d'intégrale impropre convergente, car : 
    $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(|x|)}{|x|} dx = \pi$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|\sin(|x|)|}{|x|} dx = +\infty$
  • Modifié (24 Nov)
    Toujours ce problème récurrent de définition du mot intégrable.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Intégrable, c'est en valeur absolue. Sinon, on parle d'intégrale convergente.
  • Modifié (25 Nov)
    Bonjour,
    merci à tous pour ces réponses, qui affinent mes connaissances (hum) sur intégrable et intégrale convergente
    Bonne journée. prenez soin de vous
    S_U.
  • Il y a tout de même l’expression « intégrable au sens de Riemann » qui doit créer la confusion (c’est pour une fonction bornée et on se place sur un segment). 
    Mais « intégrable sur $\R$ », comme cela a été dit : ça signifie que c’est « intégrable en valeur absolue sur $\R$ ». 
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