Une variante du lemme de recouvrement de Vitali

OliNewton2Mex

Bonjour, 
Supposons que nous ayons une collection finie de boules fermées dans $\mathbb{R}^2$, disons $B(x_1,r_1), \cdots, B(x_n,r_n)$. Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$. Je veux montrer qu'il existe une sous-collection $B(x_{i_1},r_{i_1}), \cdots, B(x_{i_k},r_{i_k})$ de boules disjointes, telle que leur union $ U$ satisfait
\begin{equation}
4\mu(U) \geq \mu \Big(  \bigcup_{i=1}^{n} B(x_i,r_i) \Big)
\end{equation}
Comme vous le savez, la différence avec le lemme de recouvrement original est la constante qui apparaît. En fait, pour être honnête, mon instinct me dit que c'est faux mais je n'arrive pas a donner un contre-exemple alors peut-être que le résultat est vrai. 
Ce que j'ai essayé, c'est de supposer sans perte de généralité que $r_1 \geq \cdots \geq r_n$ et de supprimer toutes les boules qui coupent $B(x_1,r_1)$. Des boules restantes, nous regardons celle qui a le plus grand rayon, disons, $r_{i_2}$ et nous faisons la même chose, i.e. , nous enlevons toutes celles qui se croisent avec $B(x_{i_2},r_{i_2})$ et ainsi de suite.  Après un nombre fini d'étapes, on obtient une sous-collection $C$ de boules disjointes qui vérifie : Pour tout $B(x_i,r_i)$ il existe $B(x',r') \in C$ tel que $B(x_i,r_i) \cap B(x',r') \neq \emptyset $ et $r_i < 2r'$. Par conséquent, si l'union de toutes les boules $B(x',2r')$ contient l'union de toutes les boules de notre collection original, nous avons terminé (cependant, ce n'est pas toujours le cas, comme on peut le vérifier en faisant un dessin). Une suggestion ou un contre-exemple auquel vous pouvez penser ? Merci beaucoup d'avance.