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Construction de coniques 2

Modifié (24 Nov) dans Géométrie
Bonjour à tous
Voici une variante du même problème, (un peu plus simple ?).
L'avenir nous le dira!
On se donne un cercle $\Gamma$, (qu'on pourra toujours supposer être le cercle trigonométrique pour ne pas traumatiser les âmes sensibles qui n'en connaissent pas d'autres!).
Soit $M$ un point intérieur à $\Gamma$ et $T$ une droite passant par $M$.
Construire les ellipses de cercle principal $\Gamma$ tangentes en $M$ à la droite $T$.
Amicalement
pappus

Réponses

  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour pappus,
    étape 0

    étape 1

    étape 2


    étape 3

    étape 4

    Amicalement
  • Mille fois merci, Bouzar.
    Cela fait plaisir de voir quelqu'un qui n'hésite pas à tracer des figures.
    C'est si rare sur ce forum!
    Je n'ai pas compris la définition de ton point $S$.
    Peux-tu être plus explicite?
    Amitiés
    pappus
  • Modifié (24 Nov)
    Bonsoir
    Voici ma construction
    D'abord  A et B les intersections de la tangente en $M$  avec le cercle. Ensuite la H  diamétralement opposé  à B.   Ensuite la droite passant par M  et //   à   (BH) recoupe (AH) en  le foyer $F_1.$

  • Bonsoir bd2017
    Merci pour ta figure.
    Je vois bien ce que tu as fait mais je doute que tes lecteurs  te comprennent sans un minimum de commentaires!
    Amicalement
    pappus
  • Mon cher bd2017
    Merci pour les commentaires un peu elliptiques mais exacts.
    A demain pour ma propre figure
    Amicalement
    pappus.

  • Modifié (24 Nov)

    Bonsoir 
    Une explication pour justifier ma construction.  Je complète ici la figure précédente pour la justification.
     La tangente $T_M$  coupe le cercle principal  en $A$ et $B$ et la perpendiculaires à $T_M$  en $A$  passe par un foyer $F_1.$     (idem  pour $B$ qui passe par $F_2 $)  Cette perpendiculaire recoupe le cercle en $H$ qui est diamétralement opposé à $B.$
    Pour trouver l'emplacement de  $F_1$  sur cette droite $(AH),$  j'utilise le fait que la normale en $M$  à $T_M$  (en rouge sur la figure) 
    est bissectrice de l'angle $\widehat{F_1 M F_2}.$  A partir de cette propriété il est facile de démontrer que la droite $(MF_1)$  est parallèle à $(BH).$
    Ce qui permet la construction de $F_1.$     
    Bonne soirée.
  • Modifié (25 Nov)
    En pièce jointe, ma figure, basée sur le fait que la tangente à l'ellipse est la transformée par affinité d'une tangente au cercle  directeur.

  • Modifié (26 Nov)
    Proposition
    Ramener le problème à une résolution connue, comme la construction d'une ellipse connaissant son parallélogramme englobant tangent en un point M
    Ma proposition,
    • en construisant le symétrique sur l'ellipse du point M par rapport au centre du cercle, et
    • en construisant en M le cercle congruent au cercle donné et tangent à la droite donnée; son centre O' (O'M = OR) (R quelconque sur le cercle donné) est sur la normale en M.
    Reste à construire la parallèle par M' à la droite donnée et les tangentes externes communes aux deux cercles pour terminer le parallélogramme.

    Les deux autres points de tangence de l'ellipse au parallélogramme 

    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon
  • Modifié (26 Nov)
    Merci à tous pour vos interventions.
    Il est clair que ce problème basé sur les propriétés élémentaires de la tangente en un point d'une ellipse a fait tilt.
    Je suis cependant un peu déçu par la forme soit que les constructions soient assénées sans la moindre justification soit que les explications soient minimales ou mal rédigées.
    Ci-dessous ma figure complétée par une explication écrite dans la langue vernaculaire avec sujets, verbes et compléments!
    Elle montre une ellipse de foyers $F$ et $F'$, son cercle principal $\Gamma$ de rayon $a$, un point $M$ et la tangente en $M$ qui est la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{FMF'}$.
    On sait ou plus exactement on savait que les projections respectives $U$ et $U'$ des foyers $F$ et $F'$ sur la tangente en $M$ sont situées sur le cercle principal.
    J'ai aussi tracé les symétriques $S$ et $S'$ des foyers $F$ et $F'$ par rapport à cette tangente.
    J'ai repris ici les notations de Bouzar qui a toujours refusé de nous donner la définition du point $S$.
    Les points $F$, $M$, $S'$ sont alignés tout comme les points $F'$, $M$, $S$.
    Comme $MF+MF'=2a$, (c'est la définition de l'ellipse, est-elle encore connue?), on a:
    $$FS'=F'S=2a$$
    Maintenant on fait intervenir les points $V$ et $V'$ diamétralement opposés aux points $U'$ et $U$ sur $\Gamma$.
    En tant que diamètres, on a:
    $$UV'=U'V=2a$$
    On obtient alors des parallélogrammes $FVU'S'$ et $F'V'US$.
    La construction des points $F$ et $F'$ est maintenant claire!
    On construit les points $U$, $U'$, $V$, $V'$.
    Par $M$ on mène la parallèle au segment $U'V$ qui coupe $UV$ en $F$ et la parallèle au segment $UV'$ qui coupe $U'V'$ en $F'$.
    J'ai rajouté ma propre construction.
    Soit $M'$ le symétrique de $M$ par rapport au centre $O$ de $\Gamma$.
    $W$ et $W'$ sont les symétriques de $M$ par rapport aux points $U$ et $$U'$.
    Alors $F=M'W\cap UV$ et $F'=M'W'\cap U'V'$.
    Amicalement
    pappus
    PS
    @Léon Claude Joseph
    J'aimerais bien avoir des explications plus détaillées de ta construction par affinité!

  • Je me suis mis hors sujet en choisissant le point M par construction sur la tangente, alors que sa position était imposée.

  • Bonjour à tous
    Plus simplement sur ma dernière figure:
    $\overrightarrow{US}=-\overrightarrow{UF}$, symétrie par rapport au point $U$.
    $-\overrightarrow{UF}=\overrightarrow{V'F'}$, symétrie par rapport au point $O$.
    Et finalement:
    $\overrightarrow{US}=\overrightarrow{V'F'}$
    On a bien un parallélogramme $F'V'US$.
    Amicalement
    pappus
  • Comment construire, avec l’aide de Cabri, l’axe de l’affinité (la ligne des foyers) faisant se correspondre la tangente en M à l’ellipse et la tangente au cercle ?

    Soit P un point du cercle de centre O et de diamètre MN et Q une intersection de la droite PM avec le cercle. On demande à Cabri, le lieu (en fonction du point P sur son cercle) du point d’intersection de la droite PN et de la tangente au cercle au point Q. L’axe d’affinité est la droite passant par le centre du cercle et le point d’intersection T de la tangente donnée avec le lieu.


  • Modifié (26 Nov)
    L'idée précédente est complètement fausse. À remplacer par la construction suivante, qui j'espère ne comportera pas de bug.
    Soit P un point du cercle de diamètre MO et Q une intersection de la droite PM avec le cercle.
    On demande à Cabri, le lieu (en fonction du point P sur son cercle) du point d’intersection de la droite PO et de la tangente au cercle au point Q.
    L’axe d’affinité est la droite passant par le centre du cercle et le point d’intersection T de la tangente donnée avec le lieu.
  • La figure corrigée, en pièce jointe
  • Bonsoir Léon Claude Joseph
    Ton idée est bonne mais on ne peut dire qu'elle conduit à une construction tant que tu n'as pas identifié le lieu en question!
    Tu as de la chance, ce lieu est une droite qui en plus porte un nom.
    C'est la polaire de $M$ par rapport au cercle principal $\Gamma$.
    Et on a pas besoin la considérer comme un lieu, ton cercle de diamètre $OM$ et ton point $P$ sont inutiles.
    Voici le raisonnement à tenir!
    Comme tu l'as fait, on considère l'affinité dont l'axe est l'axe focal $FF'$ envoyant le cercle principal sur l'ellipse.
    On sait ou plus exactement on savait, à quelques exceptions près comme toi, que les tangentes en $m$ au cercle principal et au point $M$, (image de $m$ dans cette affinité), se coupent au point $LCJ$ situé sur l'axe d'affinité $FF'$.
    Le point $M$ est donc situé sur la polaire du point $LCJ$ par rapport au cercle principal.
    Par réciprocité polaire, le point $LCJ$ est situé sur la polaire de $M$ par rapport au cercle principal, droite que j'ai tracée en rouge.
    D'où ta construction.
    Je te félicite pour ta ténacité et ta recherche d'idées nouvelles
    Amicalement
    pappus


  • Modifié (26 Nov)
    Pappus, un grand merci pour ton éclairage sur ce lieu comme, polaire.
    Je vais me replonger dans mon vieux Lespinard et Pernet pour [me] remettre à jour sur le sujet.
  • Bonjour à tous
    Il y a des liens entre les constructions de coniques $(1)$ et $(2)$.
    Examinons ma figure.
    Le point $M$ et le cercle principal $\Gamma$ restent donnés.
    Quel est le lieu des foyers $F$ et $F'$ quand le point $U$ décrit le cercle $\Gamma$?
    Amicalement
    pappus


  • Effectivement, ma construction ici peut s'adapter sans difficultés à l'exercice de ce fil, sans jamais évoquer un quelconque foyer :)
  • Ma propre figure, avec les idées que j'ai déjà exprimées dans Construction de coniques 1.
    C'est plus simple ici, on a un point fixe $\Omega_1$ d'une certaine involution de la droite rouge gratis pro Deo !


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