Théorème des six cercles
Dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_six_cercles j'ai ajouté la construction et démonstration par Soland, qu'il avait aussi détaillée dans https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1807340/malfatti-split
et dans https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1029507/theoreme-des-six-cercles
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Réponses
Schellbach était certainement un bien meilleur géomètre que moi. Sauriez vous à quoi ces angles correspondent ?
Merci !
donc pas d'interprétation géométrique de cette "super astuce".
Je me pose aussi des questions sur le cas où l'un des cercles est le cercle inscrit, ce qui donne le sangaku illustré ci-dessus.
La relation demandée est corrigée dans le livre de Géry Huvent sur les sangakus sur trois pages avec force fonctions symétriques des racines (p 125 à 128).
David Acheson dans son livre "geometrix" écrit : "j'ai eu du mal à le trouver aussi "plaisant et délectable" que le claironne le sous-titre de la revue "Ladies' diary", donne la référence de 1817
https://archive.org/details/mathematicalque02leybgoog/page/n201/mode/2up
et dit que sa méthode "conduit à une série de calculs fastidieux" qu'ils ne détaille pas (p. 270) et demande une méthode élégante.
cos(a1+a3)*cos(a2+a3)/cos(a2)/cos(a1)+cos(a2+a1)*cos(a3+a1)/cos(a3)/cos(a2)+cos(a3+a2)*cos(a1+a2)/cos(a1)/cos(a3) = 1
si cos^2 (a1)+cos^2 (a2)+cos^2(a3) =1
ce qui de toutes façons ne serait pas élégant...
Donc deux questions.
2) une photo de ce sangaku ?
D'où est-ce pris ?
Et ta formule montre simplement que le plus grand disque est celui qui est dans le plus petit angle !
Si les angles du triangle sont rangés par A<=B<=C le premier disque est l'inscrit et le deuxième est celui qui est inscrit dans le secteur de A.
Et grâce à ta formule, le troisième est celui qui est inscrit dans le secteur de B, sauf si $\tan(\pi/4-A/4)^2>\tan(\pi/4-B/4) $ auquel cas il est de nouveau inscrit dans le secteur de A comme ci-dessus !
Pour un triangle isocèle en A , la valeur charnière est donc A tel que $\tan(\pi/4-A/4)^2=\tan(A/8) $, ce qui fait 37,5 degrés environ, si je n'ai pas fait d'erreur.
Une idée de complétion pour ton livre : la concourance des cordes de contact dans le sangaku.
Vu sur https://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html
Pour cette dernière figure de Robert Ferréol, en calcul barycentrique, en appelant $a,b,c$ les longueurs des côtés du triangle $ABC$, on pose:
(sin A)(cos B/2 + cos C/2) sec A/2 ?
Je n'ai pas fait de trigonométrie du tout.
Je suis passé de ta figure aux coordonnées barycentriques directement en ne manipulant que les longueurs des côtés du triangle $ABC$.
Puis j'ai utilisé un programme Matlab qui calcule les nombres à chercher dans la table $6-9-13$ de l'ETC, et j'ai trouvé $X_{177}$, confirmé par la commande Géogébra $Position(M, Séquence(TriangleCentre(A, B, C, n), n, 1, 5000))$.
Cordialement,
Rescassol
Je reviens sur ceci :
Je note que Schellbach affirme que alpha, beta, gamma sont des angles connus et constructibles.
Sauriez vous à quoi ces angles correspondent ?
On cherche à construire un angle géométrique $\alpha$ aigu dans un triangle $ABC$ tel que $a=p\,\sin^2\alpha$.
Avec $p$ le demi périmètre, $I$ centre du cercle inscrit et $I_A$ centre du cercle $A$-exinscrit, on a les formules :
$\cos\alpha =\sqrt{\dfrac{p-a}{p}}=\dfrac{AI}{\sqrt{bc}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{AI_A}$ et $AI.AI_A=AD^2=bc$
ce qui permet de faire la construction suivante avec le cercle de diamètre $[AI_A]$ où $\widehat{IAD}=\alpha$
Il y a bien sûr d’autres angles $\alpha$ inscrits dans le cercle $ADI_A$.
[Edit] À noter que cette construction donne toujours un angle géométrique $\alpha$ "aigu" (cosinus positif) comme spécifié par poulbot dans le fil cité et non pas son supplément.
Avec mes notations, les centres des trois cercles magenta ont pour coordonnées barycentriques:
Cordialement,
Rescassol
Très optimiste, j'ai commencé au pif via GeoGebra en tentant d'exhiber un angle $\alpha$ à partir d'un triangle $ABC$ avec des constructions plus ou moins ésotériques. Évidemment en pure perte.
Soyons plus sérieux : après avoir établi les valeurs des sinus et cosinus des angles $\alpha,\beta,\gamma$ (mais aussi des angles doubles) en fonction de $p,a,b,c$ et $a,b,c$ seuls (voie qui ne semblait guère prometteuse), j'ai consulté mon super formulaire "Recueil de 273 formules relatives au triangle avec leurs démonstrations"
$AI^2=\dfrac{p-a}{p}bc$ et $AI_A^2=\dfrac{p}{p-a}bc$ à rapprocher de $\cos^2\alpha=\dfrac{p-a}{p}$
Dans un premier temps, j’ai pensé à un théorème de ma jeunesse :
Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
Totalement inopérant ici.
Et puis, un petit miracle a eu lieu : grâce à pappus qui l'a rappelée récemment à l'occasion d'un fil sur les pôles et polaires, je me suis souvenu d'une relation métrique dans le triangle rectangle : si $ABC$ est rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$, on a : $BA^2=BH.BC$
- Au milieu du XIX ème siècle, il est fort possible que Schellbach pensait à d'autres "angles connus". Impossible de savoir.
un exemple ici avec les tangentes communes aux cercles de diamètres $[AI]$ et $[II_A]$ :
- Est-il possible de reprendre le théorème des six cercles ou plus modestement le problème de Malfatti d'une manière moins calculatoire avec ces définitions des angles $\alpha ,\beta , \gamma$ ? Personnellement je n'y crois pas : cela aurait déjà été fait.
P.S. Si besoin est, je me ferai un plaisir de retranscrire ici même les démonstrations des formules 71 et 72.