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Triangle, parallèle et cercle d'Euler

Modifié (23 Nov) dans Géométrie
Bonjour
Une curiosité que j'ai essayé de rattacher en vain au théorème de Boutin.
Une proposition de solution est donnée plus loin.

Cordialement,
Jean-Pol Coulon.

Réponses

  • On a \[P\simeq \left[ \begin {array}{c} 2\, \left( b-c \right) ^{2} \left( b+c  \right) ^{2}\\  \left( {a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}  \right)  \left( {a}^{2}-2\,{c}^{2} \right) \\  \left( {a}^{2}-2\,{b}^{2} \right)  \left( {a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}  \right) \end {array} \right]\]

  • Bonsoir,

    Pierre a été plus rapide que moi, mais tant pis:
    % Gipsyc - 23 Novembre 2022 - Triangle, parallèle et cercle de Euler
    
    clear all, clc
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
    BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC
    
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2; % Notations de Conway
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre O du cercle circonscrit et orthocentre H de ABC
    O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; H=[1/Sa; 1/Sb; 1/Sc]; 
    Omega=MilieuBary(O,H); % Centre Omega du cercle d'Euler
    Ha=[0; Sc; Sb]; Hb=[Sc; 0; Sa]; Hc=[Sb; Sa; 0]; % Pieds des hauteurs
    K=MilieuBary(A,H); % Milieu K de [AH]
    M=[0; 1; 1]; % Milieu M de [BC]
    L=Wedge(Wedge(A,M),Wedge(Hc,Hb)); % Point L
    D=Wedge(Wedge(A,Vecteur(B,C)),Wedge(Hc,Hb)); % Point D
    P=Wedge(Wedge(K,L),Wedge(M,D)); % Point P
    
    NulCocy=Cocycliques(Ha,Hb,M,P,a,b,c) % Égal à 0, donc P est sur le cercle d'Euler
    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour
    Une proposition de solution synthétique en deux étapes

    Préliminaire
    Le cercle classique ℎ par les points H Hb A Hc

    Ensuite la preuve que KL ⊥︎ MD au niveau du point P
    (car L est à l'intersection des polaires de M et D par rapport au cercle ℎ
    ⇒ MD est la polaire de L par rapport à ℎ)
    (solution de মোঃবায়েজিদ বেগ dsns un groupe de discussion)

    Pour terminer la preuve que P appartient au cercle NPC d'Euler.
    (car le centre Ω du cercle NPC est sur la corde KM de ce cercle)

    Bonne soirée

    Jean-Pol.
  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour,
    il y a presque toujours une idée fédératrice dans un problème de géométrie élémentaire...
    Ici, selon mon avis, I est l'orthocentre du triangle MKD....
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (24 Nov)
    Bonjour
    Merci pour tous les commentaires.
    L est bien l'orthocentre du triangle MKD ... et N sur le cercle ℎ et la A-médiane est forcément le point A-Humpty du triangle de référence ABC.

    Cordialement
    Jean-Pol
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