Bonjour Une curiosité que j'ai essayé de rattacher en vain au théorème de Boutin. Une proposition de solution est donnée plus loin. Cordialement, Jean-Pol Coulon.
% Gipsyc - 23 Novembre 2022 - Triangle, parallèle et cercle de Euler
clear all, clc
syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2; % Notations de Conway
%-----------------------------------------------------------------------
% Centre O du cercle circonscrit et orthocentre H de ABC
O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; H=[1/Sa; 1/Sb; 1/Sc];
Omega=MilieuBary(O,H); % Centre Omega du cercle d'Euler
Ha=[0; Sc; Sb]; Hb=[Sc; 0; Sa]; Hc=[Sb; Sa; 0]; % Pieds des hauteurs
K=MilieuBary(A,H); % Milieu K de [AH]
M=[0; 1; 1]; % Milieu M de [BC]
L=Wedge(Wedge(A,M),Wedge(Hc,Hb)); % Point L
D=Wedge(Wedge(A,Vecteur(B,C)),Wedge(Hc,Hb)); % Point D
P=Wedge(Wedge(K,L),Wedge(M,D)); % Point P
NulCocy=Cocycliques(Ha,Hb,M,P,a,b,c) % Égal à 0, donc P est sur le cercle d'Euler
Une proposition de solution synthétique en deux étapes
Préliminaire
Le cercle classique ℎ par les points H Hb A Hc
Ensuite la preuve que KL ⊥︎ MD au niveau du point P (car L est à l'intersection des polaires de M et D par rapport au cercle ℎ ⇒ MD est la polaire de L par rapport à ℎ) (solution de মোঃবায়েজিদ বেগ dsns un groupe de discussion) Pour terminer la preuve que P appartient au cercle NPC d'Euler. (car le centre Ω du cercle NPC est sur la corde KM de ce cercle) Bonne soirée
Bonjour Merci pour tous les commentaires. L est bien l'orthocentre du triangle MKD ... et N sur le cercle ℎ et la A-médiane est forcément le point A-Humpty du triangle de référence ABC. Cordialement Jean-Pol
Réponses
Pierre a été plus rapide que moi, mais tant pis:
Cordialement,
Rescassol
Préliminaire
Ensuite la preuve que KL ⊥︎ MD au niveau du point P
(car L est à l'intersection des polaires de M et D par rapport au cercle ℎ
⇒ MD est la polaire de L par rapport à ℎ)
(solution de মোঃবায়েজিদ বেগ dsns un groupe de discussion)
Pour terminer la preuve que P appartient au cercle NPC d'Euler.
(car le centre Ω du cercle NPC est sur la corde KM de ce cercle)
Bonne soirée
Jean-Pol.
Jean-Louis
Merci pour tous les commentaires.
L est bien l'orthocentre du triangle MKD ... et N sur le cercle ℎ et la A-médiane est forcément le point A-Humpty du triangle de référence ABC.
Cordialement
Jean-Pol