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Construction de coniques 1

Modifié (24 Nov) dans Géométrie
Bonjour à tous
La construction de coniques, c'est une veine inépuisable.
Pour vous mettre en appétit, essayez de faire celles qui sont proposées dans le Lebossé-Hémery
En voici une qui me vient à l'esprit.
On se donne un cercle $\Gamma$ (jusqu'ici ça va !) dans le plan et dans son intérieur deux points $P$ et $Q$ (là encore ça va !).
Construire les ellipses (aïe, aïe, aïe, qu'est-ce que c'est que cette bestiole ?) de cercle principal $\Gamma$ passant par $P$ et $Q$.
Amicalement
pappus

Réponses

  • Si les deux cercles de centre P et Q tangents au cercle Gamma sont sécants  alors  les deux lieux des points équidistants d'un de ces points d'intersection et du cercle Gamma passent par P et Q.
  • Belle idée, mais il me semble qu'il faut l'adapter : les ellipses obtenues ont une demi-longueur du grand axe deux fois trop petite et ne sont pas centrées en $O$.
  • Merci Léon Claude Joseph et john_john
    Il y a deux aspects qui m'ont intéressé dans ce problème:
    1° Une construction synthétique.
    2° Un calcul analytique.
    J'ai résolu le 1°.
    Par contre compte tenu de ma paresse congénitale, je n'ai pas encore développé les calculs du 2°.
    En particulier, je ne suis pas tout à fait sûr que cette construction puisse être faite à la règle et au compas.
    Elle l'est en tout cas par intersection de coniques!
    Amicalement
    pappus
  • Bonjour, pappus,
    si on a le droit de dépasser le programme de Mathélém, j'entrevois une méthode : à tout point $M$ du cercle, on associe la conique passant par $M,P,Q$ et tangente au cercle en le point $M'$ diamétralement opposé à $M$ ; cette conique recoupe le cercle en un point $f(M)$ et $f$ devrait être une homographie. Cela étant fait, on sait construire les points fixes de cette homographie et les coniques correspondantes devraient être des ellipses (pour des raisons de convexité).

    À voir cet après-midi...

    bonne journée, j__j
  • Modifié (25 Nov)
    Merci john_john
    Quand je pose un problème, je m'efforce toujours pour qu'on puisse le voir sous différents aspects et pourquoi pas du niveau collège jusqu'à celui de l'agrégation c'est dire que je ne suis jamais satisfait (content?) tant que je n'ai pas vu toutes les solutions possibles et imaginables.
    L'exemple récent de mon problème destiné aux collégiens est tout à fait typique et je n'ai pas été surpris de recevoir si peu de réponses sérieuses.
    J'ai bien remarqué qu'ici quand on a rien d'intéressant à dire, on s'en tire toujours par des pirouettes ou en faisant le pitre!
    Amitiés
    pappus
    PS
    En ce qui concerne le problème de cette discussion, intéresse toi aux foyers des ellipses à construire!
  • Eh oui, c'était tout bête :):):)   Merci, pappus !
  • Je dirai un mot du calcul analytique un peu plus tard...
  • Bonsoir à tous,
    Si je suis bien la construction de @john_john :
    1) placer les points symétriques de P et Q par rapport à O, P' et Q' ;
    2) tracer les ellipses de foyers P et Q' pour l'une, P' et Q pour l'autre, tangentes au cercle principal donné en les points d'intersection des droites PQ' et P'Q avec ce cercle ;
    3) les foyers des ellipses cherchées sont les quatre points d'intersection de ces deux ellipses.
    C'est très simple à faire avec Cabri ou Geogebra ...
    Mais comment faisaient les lycéens de l'époque antérieure aux logiciels de géométrie dynamique ?
    Et surtout, qu'est-ce qui justifie cette construction, quelle en est la base théorique ?
    @pappus, pour ma deuxième question, je vais essayer de trouver à quel paragraphe du Lebossé-Hémery je dois me reporter ...
    Et pour la première, je ne me souviens pas que mon prof de TC nous ait posé ce problème, je ne sais donc pas comment on faisait ...
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (25 Nov)
    Bonjour Jelobreuil
    Il y a des typos dans ton message.
    Ce sont les ellipses de cercle principal $\left( O\right) $, une ayant pour foyers $P$ et $P^{\prime }$ et l'autre $Q$ et $Q^{\prime }$ dont john_john a utilisé l'intersection.
    La justification est immédiate : si $F$ et $F^{\prime }$ sont les foyers d'une ellipse de cercle principal $\left( O\right) $ et passant par $P$ et $Q$, on a 
    $FP+F^{\prime }P=FQ+F^{\prime }Q=2R$, soit encore $FP+FP^{\prime }=FQ+FQ^{\prime }=2R$ (because symétrie par rapport à $O$)
    Bien cordialement
    Poulbot
  • Bonsoir,
    GeoGebra gère très mal cette construction lorsque $O$ est proche de la droite $(PQ)$ : j'ai placé à la main de tels points (voir figure ci-dessous) et le logiciel donne deux ellipses qui ne répondent plus au problème (j'ai utilisé l'outil conique par foyers et un point). Y a -t-il une autre construction ? À la règle et au compas par exemple cela devrait mieux fonctionner.

     
  • @Poulbot, merci de ton explication et aussi d'avoir relevé mes fautes d'inattention  ;) (que je préfère laisser telles quelles, pour ne pas perturber la logique de cette discussion).
    Bien cordialement, JLB
  • Ludwig : ma version de Géogebra donne des résultats normaux lorsque la distance de $O$ à $(PQ)$ est petite devant le rayon du cercle ; les ellipses sont très plates, mais c'est la forme attendue.
  • Modifié (25 Nov)
    Oui, j'ai trouvé pourquoi ma figure plantait : pour les droites des foyers j'avais tracé par exemple $(OP)$ et non pas $(PP')$. J'ai tout changé et désormais c'est ok. Ah les subtilités de l'informatique...

    Pour obtenir les deux ellipses demandées j'ai procédé autrement sans aboutir : je suis parti de l'idée de Léon Claude Joseph. Il a construit une ellipse passant par $P$ et $Q$ et dont on connait le cercle principal. Avec une translation et une homothétie j'ai transformé ce cercle pour obtenir celui de départ, et j'ai fait subir la même transformation aux points $P$ et $Q$. Ensuite j'ai cherché à "inverser" cela : on se donne deux points dans le cercle initial et on cherche à construire les points $P$ et $Q$ correspondants. Je n'ai réussi qu'à construire une ellipse passant par un des points, ellipse qu'il faut déplacer à l'aide d'un paramètre pour qu'elle passe aussi par l'autre point donné. 

    En fait je m'aperçois que j'ai construit une ellipse passant par un point et connaissant la tangente en ce point, ce qui correspond au problème de l'autre fil.
  • Bravo john_john
    Effectivement c'est ce que j'ai fait mais je ne suis pas entièrement satisfait car la construction se fait grâce à des intersections de coniques alors que j'ai le sentiment qu'on peut s'en tirer avec la règle et le compas.
    Amitiés
    pappus
  • Modifié (26 Nov)
    Une idée peut-être.
    Soit $O$ le centre de $\Gamma$ et $P',Q'$ les symétriques respectifs de $P,Q$ par rapport à $O$.
    Le faisceau des coniques passant par $P,Q,P',Q'$ induit une involution sur la droite de l'infini dont on cherche les points fixes.

  • Modifié (26 Nov)
    Bonjour Pappus
    On part des deux ellipses de cercle principal $\left( O\right) $,  $\Gamma $ de foyers $P$ et $P^{\prime }$ et $\Gamma ^{\prime }$ de foyers $Q$ et $Q^{\prime }$.
    Les polaires de tout point $M$ du plan par rapport aux coniques du faisceau engendré par $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ passent toutes par un même point $f\left( M\right) $ et, si $O,M,M^{\prime }$ sont alignés, il en va de même de $O,f\left( M\right) ,f\left( M^{\prime }\right) $. 

    $OM\rightarrow Of\left( M\right) $ est une involution du faisceau de droites passant par $O$. Les droites fixes de cette involution sont les axes focaux des coniques cherchées.
    C'est si pénible à mettre en œuvre qu'il doit y avoir plus simple et il est bien plus reposant d'utiliser un logiciel qui donne les points de $\Gamma \cap \Gamma ^{\prime }$.
    Amicalement. Poulbot
  • Merci Gai Requin et merci Poulbot
    J'en étais là moi aussi et je partage ton opinion.
    Je suis bien heureux d'avoir mon logiciel dont je ne pouvais imaginer l'existence quand j'étais en Taupe.
    Aujourd'hui la géométrie a entièrement disparu mais il nous reste les logiciels.
    Cherchez l'erreur!
    Amitiés
    pappus
  • Modifié (26 Nov)
    Via une perspective de pôle $O$, l'involution de mon message précédent induit une involution de point central $I$ qui échange $A$ et $A'$ sur la droite rouge.
    On sait alors construire ses points fixes $\Omega_1$ et $\Omega_2$.
    Pour les tenants de la règle ébréchée et du compas rouillé, avec modération...


  • Modifié (26 Nov)
    @AD : C'est quand même assez étonnant que tu rétrécisses uniquement mes figures.
    On peut maintenant être sûr que @pappus ne va pas pouvoir les déchiffrer, si tant est qu'il veuille le faire.
  • Modifié (26 Nov)
    Je fixe $Q$ et je contrains $P$ à se déplacer sur un cercle centré sur $O$. Alors le lieu du point d'intersection de la droite $(PQ)$ avec une droite des foyers est un cercle. On obtient donc deux cercles lieux, en orange sur la figure. Ces deux cercles sont centrés sur la droite $(QQ')$ et leurs intersections avec cette droite s'obtiennent lorsque $P$ est aligné avec $O$ et $Q$ : la position de chacune de ces intersections sur cette droite se calcule en fonction de $p=OP$ et $q=OQ$.

    Cette propriété permet une construction très simple à la règle et au compas : il suffit de prendre les bonnes intersections de $(PQ)$ avec ces cercles pour avoir les droites des foyers.



    Et ces deux cercles sont inverses l'un de l'autre par rapport à $\Gamma$.
  • ADAD
    Modifié (26 Nov)
    Bonsoir Gai Requin
    Si je "rétrécis" les figures, c'est pour qu'on puisse les voir d'un premier coup d’œil à l'ouverture du message, et ainsi lire le message et suivre la description simultanément dans le texte et sur la figure.
    Sachant que le fichier stocké sur le forum n'est pas modifié, et donc chacun peut toujours zoomer pour retrouver les détails qui l'intéressent.
    Je ne rétrécis pas seulement tes figures, mais toutes celles qui apparaissent trop grosses (je peux en oublier parfois).
    Considères-tu que la réduction de ta figure ci-dessus est excessive et dénature ton message ?
    AD
  • Dénaturer, non, mais il y a déjà eu plusieurs requêtes dans la section géométrie demandant des figures avec des étiquettes suffisamment grandes pour les plus presbytes d'entre nous.
  • D'accord, mais cela ne peut-il pas se régler au moment de la fabrication de la figure ?
  • Certainement, mais je ne sais pas faire rapidement.
  • Bonsoir,

    Dans Géogébra, menu Options - Taille des caractères.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (27 Nov)
    Pour ma construction au compas je note $R$ le rayon du cercle $\Gamma$, $d$ la distance entre $Q$ et le centre du cercle de diamètre $AB$ (voir figure), $r$ le rayon de ce cercle. $d'$ la distance entre $Q$ et le centre du cercle de diamètre $CD$ et $r'$ le rayon de ce cercle.

    Le théorème de Thalès nous donne :  $pd=qr$ et $pd'=qr'$.

    On a aussi $QA.QC=QB.QD=R^2-q^2$.

    Je n'ai pas le temps de terminer les calculs qui permettront de tracer les cercles oranges.
    Un bon dimanche, Ludwig


  • On peut supposer $p>q$ sans perte de généralité. Un cas particulier permet de simplifier les calculs, celui où les droites $(OP)$ et ($OQ)$ sont perpendiculaires. Le grand axe de l'ellipse de foyers $P$ et $P'$ est alors perpendiculaire à celui de l'ellipse de foyers $Q$ et $Q'$ et on peut calculer les coordonnées des points d'intersection de ces deux coniques dans le repère orthogonal $(O,Q,P)$. On trouve ensuite les abscisses des centres des deux cercles oranges : $$x=q \; \frac{p^2-R^2 \pm \sqrt{\left(p^{2} -R^{2} \right) \; \left(q^{2}-R^{2}  \right)}}{p^2 - q^2}.$$ Ainsi que les rayons de ces cercles : $$r=p \; \frac{q^2-R^2 \pm \sqrt{\left(p^2-R^2 \right) \; \left(q^2-R^2 \right)}}{p^2 - q^2}.$$ Pour terminer la construction en fait un seul de ces cercles suffit : les droites $(QP)$ et $(QP')$ coupent ce cercle en $4$ points dont $2$ sont diamétralement opposés (voir figure ci-dessus). Ces deux points appartiennent aux droites des foyers recherchées.
  • Modifié (29 Nov)
    Bonjour,
    Voici une construction simplifiée qui ne fait pas intervenir les formules ci-dessus, trop compliquées. Je note $p=OP$, $q=OQ$ et $R$ le rayon du cercle $\Gamma$. La construction nécessite seulement de calculer le nombre : $$a=\frac{(p-R)(q-R)}{p+q}.$$ Le plan est muni d'un repère orthonormé centré en $O$, le point $Q$ est sur $(Ox)$.

    Première étape : on place $H(-R,0)$, $A(a,0)$ et $B(a+R,0)$. Les points $M$ et $N$ sont les points d'intersection du cercle de centre $A$ passant par $H$ avec la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $B$. Le cercle de diamètre $[MN]$ coupe $(OA)$ en $E$ et $F$.




    Deuxième étape
    : on place $K(0,p)$ et $K'(0,-p)$ puis on construit $R=(KQ)\cap(EN)$, $S= (K'Q)\cap(EM)$, $T=(K'Q)\cap(FN)$ et $U=(KQ)\cap(FM)$. On trace les cercles de diamètre $[RS]$ et $[TU]$ :



    Dernière étape : les droites $(PQ)$ et $(P'Q)$ coupent le cercle de diamètre $[TU]$ en quatre points dont deux ($\alpha$ et $\alpha'$) sont diamétralement opposés. Alors les droites $(O\alpha)$ et $O\alpha')$ déterminent les grands axes des ellipses recherchées :


  • Une autre petite chose sur ma construction : la droite $(PQ)$ recoupe le cercle de centre $O$ passant par $P$ en $\bar{P}$, elle recoupe aussi le cercle de diamètre $[TU]$ en $\beta'$. De ma même façon que la droite $(O\alpha')$ détermine le grand axe d'une ellipse passant par $P$ et $Q$, la droite $(O\beta')$ détermine celui d'une ellipse passant par $\bar{P}$ et $Q$ : 

  • Modifié (4 Dec)
    Bonsoir,

    Dans ma construction il faut prendre deux points diamétralement opposés ($\alpha$ et $\alpha'$) parmi quatre sur un cercle. On peut le faire de visu, mais cette méthode ne donnera pas toujours les bons points quand on bougera $P$ ou $Q$.

    Une autre technique consiste à utiliser des listes : si $L_1=${$x_1,x_2,x_3,x_4$} est la liste de ces quatre points on prend son intersection avec la liste des points symétriques par rapport au centre $O'$ du cercle : $L_2=$Inter($L_1$, symétrie($L_1$,O')). Puis on récupère les deux éléments de $L_2$. Mais cela n'est pas très géométrique.

    Cela dit on peut s'en tirer sans ces points diamétralement opposés : on répète la construction en échangeant les rôles de $P$ et $Q$. C'est à-dire qu'on construit deux autres cercles (en orange sur la figure), lieux des intersections de $(PQ)$ avec les droites des foyers des ellipses lorsque $Q$ se déplace sur un cercle centré sur $O$ ($P$ fixe). En bleu les lieux des intersections de $(PQ)$ avec les droites des foyers des ellipses lorsque $P$ se déplace sur un cercle centré sur $O$ ($Q$ fixe). 

    Il suffit alors de prendre les intersections d'un cercle bleu avec un cercle orange. Les droites passant par $O$ et un de ces deux points nous donnent les grands axes des ellipses recherchées.

    Ci-joints une figure et mon fichier GeoGebra (pdf à renommer en ggb). Cordialement, Ludwig.



    EDIT : on peut même obtenir les ellipses sans tracer les cercles bleus et oranges : une droite des foyers est parallèle à la ligne des centres d'un cercle bleu et d'un cercle orange concourants. Ou encore : les milieux des centres de deux tels cercles sont sur une droite des foyers.
    PQ.pdf 32.4K
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