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Montrer que CFDH est un parallélogramme.

Modifié (23 Nov) dans Géométrie
Bonjour
Il y a deux cercles : $C1$ et $C2$. Ils se touchent intérieurement au point B (notez que C1 est à l'intérieur de C2). C1 a une corde BC, qui est produite pour rencontrer C2 en D. La tangente de C rencontre la tangente commune de B au point E. Il y a un point F, qui est l'endroit où C2 et la ligne CE se croisent d'une manière qui provoque E et F pour être sur les côtés opposés de BC. La ligne BF rencontre C1 en G et CG rencontre la tangente de D en H. À partir de ces informations, je dois montrer que CFDH est un parallélogramme.
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Citation :  Je suis Jack 

Réponses

  • Modifié (23 Nov)
    L'homothétie $h$ de centre $B$ qui envoie $\newcommand{\C}{\mathcal{C}}\C_1$ sur $\C_2$ stabilise $(BC)$ et $(BG)$ et envoie donc $C$, l'autre intersection de $(BC)$ et $\C_1$ que $B$, sur $D$, l'autre intersection de $(BC)$ et $\C_2$ ; de même elle envoie $G$ sur $F$. Il en résulte que $(CG)$ et $(DF)=h\bigl((CG)\bigr)=h\bigl((CH)\bigr)$ sont parallèles.
    L'homothétie $h$ envoie la tangente à $\C_1$ en $C$ sur la tangente en $\C_2=h(\C_1)$ en $D=h(C)$, c'est-à-dire que $(CF)$ et $(DH)$ sont parallèles.

  • Bonjour à tous
    A défaut de donner une solution, je me dévoue pour écrire un énoncé compréhensible.
    Sur la figure ci-dessous, les cercles $C_1$ et $C_2$ sont tangents intérieurement en $B$.
    Le point $C$ est un point quelconque du cercle $C_1$.
    La droite $BC$ recoupe le cercle $C_2$ en $D$.
    La tangente en $C$ au cercle $C_1$ recoupe le cercle $C_2$ aux points $F$ et $F'$.
    La droite $BF$ recoupe le cercle $C_1$ en $G$.
    La droite $BF'$ recoupe le cercle $C_1$ en $G'$.
    La droite $CG$ recoupe la tangente en $D$ au cercle $C_2$ en $H$.
    La droite $CG'$ recoupe la tangente en $D$ au cercle $C_2$ en $H'$.
    Montrer que les quadrilatères $CFDH$ et $CF'DH'$ sont des parallélogrammes.
    Amicalement
    pappus
    PS
    On remarque qu'on a rien à cirer du point $E$.



  • Bonsoir,

    pour chacune des deux questions, appliquer deux fois le théorème de Reim...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Merci a vous tous. Le théorème de reim...?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • @gebrane, Bonsoir,
    @Jean-LouisAyme étant probablement déjà couché à cette heure-ci, je me permets de t'indiquer l'adresse http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/apropos.html où tu pourras trouver tous les détails sur ce théorème de Reim et ses multiples déclinaisons ...
    Bonne lecture, bien cordialement JLB

  • Bonsoir à tous
    Je préfère la solution de Math Coss car ce n'est qu'une simple application des homothéties.
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (23 Nov)
     Cette question m' a été proposée par un lycien ( un devoir) , donc on devrait faire d'une manière simple. Je vais chercher de mon coté.    edit   C'est bon , je crois réussir avec les triangles semblables 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • L'idée des triangles semblables vient de lui. J'explique le début . Utilisons le dessin pappus. Les triangles BQC et QPD sont semblables ( sont isocèles et partage un angle), donc les droites QC et PD sont parallèles . Ces deux droites sont respectivement perpendiculaire à la tangente en C resp. la tangente en D. Donc les droite CF et HD sont parallèles
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    Citation :  Je suis Jack 
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