Fonctions continues, positives, intégrables sur $\mathbb R^+$ et de $||f||_\infty = 1$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Fonctions continues, positives, intégrables sur $\mathbb R^+$ et de $||f||_\infty = 1$

Bonsoir,

C'est une question que je me suis posé à la suite d'un exercice.

On posait $f$ une fonction positive, bornée et intégrable sur $\mathbb R^+$.

On devait prouver que si $||f||_\infty <1$ alors $\sum \int_0^\infty f^n(t) dt$ converge et c'est tout.

Je me pose alors la question : Que se passe-t-il si $||f||_\infty =1$ ? Cette situation me fait penser au rayon de convergence.

J'essaye de trouver deux fonctions dont leur norme vaut $1$ et la série de l'une est convergente et l'autre divergente.

Auriez-vous des idées de fonctions ?
Mots clés:

Réponses

  • Cela donne quoi pour $f(x)=e^{-x}$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    @gebrane : Cela diverge ! Effectivement, cela n'était pas difficile !

    Maintenant pour la convergence ?

    J'aimerais bien avoir un $n^2$ à la place du $n$.
  • Maintenant pour la convergence ?
    Ce n'est pas mon exercice
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Ok je viens de trouver une fonction via l'intégration terme à terme positif !
    Je choisis : $f(t)=e^{-t^2}\ge 0$.
    - $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n(t) = e^{-nt^2} \in L^1(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$.
    - $\sum_{n\ge1} f^n$ converge simplement sur $\mathbb R^+_*$.
    - $\forall t\in \mathbb R^+_*,\ \sum_{n=1}^\infty f^n(t) = \dfrac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}} \in C_{pm}^0(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$
    - $\forall n\in\mathbb N^*,\  f^n \ge 0$
    Par intégration terme à terme, on a : $\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty f^n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$
    Or, $\dfrac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}} \in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$ car équivalent quand $t$ tend vers $+\infty$ à $e^{-t^2}$.
    Donc : $\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty e^{-nt^2} dt$ converge !

    EDIT : Cela ne marche pas en $0$...
  • Erreur de ma part cela ne marche pas en $0$. J'ai beaucoup trop rêvé...
  • Si f tel que f(0)=1 et 0 ailleurs ?
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • @gebrane Il faudrait que $f$ soit continue non ?
  • Tu ne demandes pas la continuité dans tes hypothèses 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Alors je n'ai pas été précis. C'est une fonction continue, positive, intégrable sur $\mathbb R^+$ !
  • Je n'étais pas aussi assez clair, c'est ton exercice 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Et bien c'est un exo que je me suis imaginé donc effectivement, oui  :) !
    Quand j'y pense, si j'avais $f$ intégrable, positive et continue. On ne peut pas utiliser l'intégration terme à terme.
    Déjà, $f$ tend vers 0 en $+\infty$ et il existe $t\in\mathbb R^+$ tel que $f(t) = 1$.
    En dehors des ces points, on peut essayer d'utiliser l'intégration terme à terme : ce qui donne $\frac{f(t)}{1-f(t)}$
    Cela va être difficile d'avoir l'intégrabilité sur $\mathbb R^+$.
  • Pour régler le problème en $0$ : Il faudrait que $f(x) = 1-bx^a + o(x^a)$ avec $a<1$ et $b>0$.

    Je choisis donc : $f(t)=1-\frac{1}{4}\sqrt{t}$ si $t\le k_0$ et $e^{-t^2}$ sinon. On pose $k_0 > 0$ tel que $1-\frac{1}{4}\sqrt{k_0} = e^{-k_0^2}$
    - $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n(t) = (1-\frac{1}{4}\sqrt{t})^n$ si $t\le k_0$ et $e^{-nt^2}$ sinon. On a $f^n\in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$
    - $\sum_{n\ge1} f^n$ converge simplement sur $\mathbb R^+_*$.
    - $\forall t\in \mathbb R^+_*,\ \sum_{n=1}^\infty f^n(t) = \frac{4-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ si $0< t\le k_0$ sinon $ \frac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}}$. La série est dans $C_{pm}^0(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$. On le notera $g$.
    - $\forall n\in\mathbb N^*,\  f^n \ge 0$
    Par intégration terme à terme, on a : $\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty f^n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$
    $g \in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$ : En $0$, $g(t)\sim_0 \frac{4}{\sqrt{t}}$. Pour $+\infty$, $g(t)\sim_{+\infty}e^{-t^2}$. Cela marche.
    Donc : $\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$ converge !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!