Je joins une version relativement complète. La fin n'est pas terminée. J'ai peut-être oublié quelques solutions (n'hésitez pas).
Il y a plein de remarques intéressantes au sujet des derniers problèmes que je n'ai pas encore intégrées. Et comme je change de poste au boulot à partir du 01/02/2023, j'ai parfois du mal à dégager du temps. C'est pas trop mal pour un début. Je prends toutes les remarques. J'ai choisi de ne pas intégrer tout ce qui concerne le site approchtrucbidule, ça m'amènerait trop loin. Je m'amène déjà trop loin tout seul. S'il y en a qui on le courage de faire des recherches concernant l'exercice d'harazi dans la RMS et dans Crux Mathematicorum, ne vous retenez pas. J'ai téléchargé les Crux de 2005, je jetterai un œil si je trouve le temps. Rémi.
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Je vais préciser dans ce fil la question que je voulais poser pour
le jour 21 (j'ai eu un déplacement imprévu). La question, en fait,
concerne un théorème qui joue le rôle d'une définition de l'intégrale
d'une fonction continue sur un segment [a, b]. Je trouve
cette définition élégante, rigoureuse et surtout simple (elle évite les
notions de bornes inférieures et supérieures qui rebutent pas mal
d'étudiants). Cette définition a été donnée dans un cours que j'ai
consulté d'un professeur qui cherchait un consensus réussi entre rigueur
et simplicité pour un public qui ne va pas se spécialiser en
mathématiques. Il propose cette définition (en fait, un théorème) sans
démonstration.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ qu'on partage en $n$ segments $[x_i,x_{i+1}]$ à pas égaux $h=\frac {b-a}n$ on note $m_i
=\min_{x\in [x_i,x_{i+1}]} f(x)$ et $M_i=\max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} f(x)$
et on note $s_n^+$ la somme des aires des rectangles au dessus de la
courbe : $s_n^+=h\sum_{i=0}^{n-1} M_i$ et $s_n^-$ la somme des aires des
rectangles sous la courbe : $s_n^-=h\sum_{i=0}^{n-1} m_i$.
Théorème-définition : les deux suites $s_n^+$ et $s_n^-$ convergent vers une même limite, que l'on note par définition $\int_a^b f(x) dx $.
Question.
Démontrer le théorème. Vous pouvez sauter l’étape de prouver que
$\lim_{n \to +\infty} s_n^+- s_n^- = 0$ en utilisant l'uniforme
continuité de $f$ Il faut surtout démontrer que les deux suites sont
convergentes, ce qui rend la définition rigoureuse. C'est une
définition qu'on doit donner sans démonstration (car le prix à payer est
un peu cher, elle s'adresse donc à un public qui ne va pas faire
carrière en mathématiques) et (surtout ne pas croire que les deux suites
sont adjacentes même si on suppose que $f$ est positive) je la trouve
meilleure que la définition qu'on donne : que l'intégrale d'une
fonction continue positive est par définition l'aire sous la courbe ou
la définition qui dit que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ avec $F$ une
primitive de $f$.
Je me pose des questions sur cette définition, si on peut démontrer les
propriétés de base de l'intégrale sans trop se fatiguer. Si on propose
une définition sans démonstration des propriétés attendues , il faut au moins
que le professeur sache que cette définition tient ses promesses
Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane
Une question : les sommes (permettant de définir les suites $(s_n^+)$ et $(s_n^-$)) ne devraient-elles pas aller de $0$ à $n-1$ plutôt? Vu que l'on a partagé $[a,b]$ en $n$ segments?
Réponses
Cidrolin ; tu es un dangereux récidiviste, à ce que je vois !! Mais tu seras absous car tes exos sont passionnants
bd2017 : même en dimension $2$, l'inégalité est fausse. Alors, pourquoi seulement en dimension $3$ ? Raison de convexité, de forme quadratique ?
Et comme je change de poste au boulot à partir du 01/02/2023, j'ai parfois du mal à dégager du temps.
C'est pas trop mal pour un début.
Je prends toutes les remarques.
J'ai choisi de ne pas intégrer tout ce qui concerne le site approchtrucbidule, ça m'amènerait trop loin.
Je m'amène déjà trop loin tout seul.
S'il y en a qui on le courage de faire des recherches concernant l'exercice d'harazi dans la RMS et dans Crux Mathematicorum, ne vous retenez pas.
J'ai téléchargé les Crux de 2005, je jetterai un œil si je trouve le temps.
Rémi.
Je signale que la solution recopiée au jour 17 est en fait celle du jour 18.
Merci rémi. En page 6 de ce fil, tu trouveras dans un de mes messages une répone plus détaillée et plus élémentaire à J 16.
En page 4, un de mes messages donne une solution plus élémentaire au J3 (sans utiliser Fourier ou de l'analyse complexe).
Il faut surtout démontrer que les deux suites sont convergentes, ce qui rend la définition rigoureuse. C'est une définition qu'on doit donner sans démonstration (car le prix à payer est un peu cher, elle s'adresse donc à un public qui ne va pas faire carrière en mathématiques) et (surtout ne pas croire que les deux suites sont adjacentes même si on suppose que $f$ est positive) je la trouve meilleure que la définition qu'on donne : que l'intégrale d'une fonction continue positive est par définition l'aire sous la courbe ou la définition qui dit que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ avec $F$ une primitive de $f$.