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Calendrier de l’Avent

Modifié (6 Dec) dans Analyse
Bonjour, je vous propose pour Noël de donner tous les jours un exercice (de plus en plus difficile mais amusant), d'analyse (intégrales, séries), ou de théorie des nombres (équations dophantiennes, etc.
Défi. Chaque exercice devra être résolu le jour même (ceux qui connaissent déjà totalement la solution ne la donnent qu'en dernier recours).
Pour préparer cet événement (qui se déroulera dans ce fil), je recherche des volontaires pour chaque jour pour trouver des exercices amusants : 
Volontaires pour chaque jour : 

1 JLapin
2 Calli
3 Bibix
4 Julia Paule(je les laissent s’arranger)
5 Manu
6 Calli 
7 JLapin
8 etanche
9 Magnéthorax
10 Namiswan
11 Boécien
12 Calli
13 Namiswan
14 Calli
15 John_john 
16 Calli
17 bd2017
18 Biblix
19 Calli
20 harazi
21 Gebrane 
22 Fin de Partie 
23 Poirot 
24 Fin de partie-Gebrane-Poirot 
25 Cidrolin 

Essayez si possible de vous porter volontaire pour votre exo pour un jour correspond à la difficulté (je laisse le choix des 4 derniers à gebrane, fin de partie, Poirot, et le dernier aux trois qui devront le composer, il devra être très dur, avec un énoncé simple, mais avec une très belle solution qui rend le problème un peu plus simple  :)

Bien évidemment l'exo devra être dévoilé le matin du jour réservé.

PS. C'est sûrement très mal expliqué...
PS2 : Merci à tous de m’avoir aidé à corriger les fautes d’orthographes :)
La patience est un plat qui se mange sans sauce.
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Réponses

  • Bonsoir,
    Avent, pas avant.
  • Merci de m'avoir signalé l'erreur !  :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Hihihi c'est rigolo comme idée !
  • Modifié (22 Nov)
    Voici les autres : 

    touts les jours
    dophaniennes,
    ect  etc
    devra être résolus
    ceux qui ... ne la donnent
    chaque jours
    vous porter volontaires
    pour un jour correspondant 
    je laisse le choix ... 

    [Ah zut ! je n'ai pas vu le "porter volontaires" :/  AD]
  • Plus que la majuscule à Avent et ça devrait être bon.
    Après je bloque.
  • Avent, pas Avant !!!
  • Bah, vous auriez pu corriger une faute d'orthographe par jour question d'étaler le tout sur un mois... comme pour les exos :mrgreen:
  • Modifié (22 Nov)
    @AD
    Il reste un 'chaque jours', il y était 2 fois.
    [En effet, j'ai lu trop vite ! je corrige. AD]
  • Je me porte volontaire pour le 3. Mon exo est un peu un OVNI donc je changerai la difficulté en fonction des deux premiers exos si besoin.
  • Bonjour,

    Pourrait on corriger le titre ?  Ça fait mal aux yeux.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Il faudrait aussi mettre la déco autour comme dans celui-là.
  • J'aime bien l'idée, je me prêterai au jeu. ;) J'ai un mois pour trouver un exo sympa maintenant !
  • Modifié (23 Nov)
    Bonjour,
    Je me porte volontaire pour les numéros 2, 4, 6, 9, 12, 14, 16 et 19. C'est peut-être beaucoup, mais comme il n'y a pas foule pour l'instant, je me permets d'occuper l'espace (au pire, je me retirerai de certains numéros si jamais on finit par manquer de place).

    PS: @Quentino37 tu as mal écrit le pseudo de Bibix...
  • Merci beaucoup Calli ! 
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Modifié (24 Nov)
    Je pourrai essayer de vous dénicher un ou deux trucs amusants. A la date que vous voulez, mais pas trop au début histoire de pouvoir me faire une idée du style.
  • Je veux bien ouvrir le bal.
  • Merci beaucoup !, je vous inscrit sur la liste !
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Cela me semble amusant, je prends le 5!
  •  Je veux bien essayer de concocter un exercice "suite et théorie des nombres" le 11.
  • Tiens, voici un calendrier de l'Avent du même genre. Difficile de présager de ce qui va sortir ici et là mais celui qui est en train de se former ici (des exercices sans doute jolis et non triviaux) sera sans doute bien différent de ce qui se prépare là (des énigmes pour un plus large public).
  • Modifié (28 Nov)
    C'est grave si l'exo concerne une EDO et utilise Cauchy-Lipschitz ? Si ça convient, alors je veux bien combler le vide du 18 décembre.
  • Désolé j'ai compétition, par contre je suis disponible le 1er avril.
  • Je ne sais pas si je suis en mesure d’être à la hauteur… 
    Peut-être tenterais-je… s’il reste de la place. 
  • Modifié (30 Nov)
    Quel jour veut tu dom ?
    Sinon je vais me réserver un petit jour, j'ai une idée de problème amusant :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Modifié (4 Dec)

    Jour 1

    Calculer $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+1} - \ln\big(1+\frac{1}{2n+1}\big)$.
    PS : je veux bien m'inscrire aussi pour un autre jour (plutôt deuxième moitié du mois le 20 décembre puisqu'il ne reste que cette date :)).
  • On met le résultat quand on a trouvé ou on attend la fin de la journée ?
  • Modifié (1 Dec)
    Bibix a dit :
    On met le résultat quand on a trouvé ou on attend la fin de la journée ?
    On va dire : les résultats non aboutis quand on veut et les résultats terminés à partir de 16h (pour laisser le temps au autres de chercher) :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Je veux bien proposer un exo le 15 ! Qu'est-ce qu'on gagne ?
  • john_john a dit :
    Je veux bien proposer un exo le 15 ! Qu'est-ce qu'on gagne ?
    1000 euros
    Et bien … Le plaisir d’avoir participé à l’événement :) 
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Je me propose pour le  17. 

  • Modifié (1 Dec)
    Le plaisir vaut mieux que 1 000 euros :)

    NB : eh bien, et non pas et bien (quoique 99% des gens fassent la faute).

    Ma réponse pour JLapin, afin que d'autres puissent vérifier leurs calculs :

    NB2 : je trouve $\gamma/2+\ln(2/\sqrt\pi)$.


  • Modifié (1 Dec)

    En passant à l'exponentielle, la somme de $0$ à $n$ se réecrit $\ \displaystyle \exp\Big(\sum_{k = 1}^{2n+1} \frac{1}{k}\Big)\exp\Big(-\frac12\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\Big)\frac{(2n+2)!}{4^{n+1} (n+1)!^2}$  Ensuite on utilise le développement asymptotique de la série harmonique et la formule de Stirling et ça devrait fonctionner...

  • Modifié (1 Dec)
    Est-ce que c’est prévu qu’il y ait la solution complète de chaque exercice ? 
  • Modifié (1 Dec)
    Voici la solution complète pompée en grande partie sur Wikipedia car je suis trop nul en analyse :mrgreen:

    RÉSOLUTION POUR LES NULS


    On sait, voir Wiki, que $\displaystyle\gamma = \sum_1^{+\infty}\dfrac{1}{n}-\ln(1+\dfrac{1}{n})=I+P$ où $I$ et $P$ sont les sommes des termes impairs et pairs respectivement. Ce que l'on cherche est donc $I$.

    Toujours sur Wiki on remarque qu'un  certain Sondow a montré en 2005 que $\ln(\dfrac{4}{\pi})=I-P$. Par conséquent en sommant les deux expressions on élimine le $P$ et on trouve $2I=\gamma+\ln(\dfrac{4}{\pi})$ et pour finir $I=\dfrac{\gamma}{2}+\ln(\dfrac{2}{\sqrt{\pi}})$.

    PS. Merci à john_john de m'avoir mis sur la voie de Wiki.
  • Pas de ma part en tout cas :)
    Mais Noobey a donné une preuve quasi complète !
  • Jour 2

    On note $\varphi$ la fonction indicatrice d'Euler. Soit $x\in{]1,\infty[}$. Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi(n)}{x^n-1}$.

    Notez que c'est un exo de séries et d'arithmétique, donc je suis à fond dans le thème.  ;)

    PS : Je vois qu'il n'y a plus de jour disponible (hormis peut-être les derniers pour lesquels des désignés volontaires n'ont pas répondu). Donc si quelqu'un veut prendre l'un des miens il peut. Mais merci de le dire assez rapidement pour que, le cas échéant, j'élimine mon exo le moins intéressant .
  • On pose $y = 1/x$ on cherche donc à calculer $S(y) = \sum_{n \geq 1} \frac{\varphi(n)y^n}{1-y^n} = \sum_{n \geq 1} \sum_{p \geq 1} \varphi(n)y^{pn}$


    (Puis comme tout est positif, on peut sommer n'importe comment)

    Le coefficient de degré k est donné par l'ensemble des couples $(p,n)$ tels que $pn = k$

    $S(y) = \sum_{k = 1} (\sum_{n | k} \varphi(n)) y^k = \sum_{k = 1}^{\infty} ky^k = y/(1-y)^2 $

  • Modifié (2 Dec)
    Calli, j'ai laissé ma place pour le 7, sinon pour le 21 et 22, On attend jusqu'au 10 pour voir si ils se présentent :) 

    PS. Après avoir regardé m, Fdp ne s'est pas connecté depuis le 11 novembre...
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Je viens de lire ce fil ( le titre ne me disait rien) grâce à un mp de mon Champion Q37, je prend le J21 comme prévu et le J24 en copartage avec FDP et Poirot
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (2 Dec)
    Pour le J2 (déjà connu) sans regarder la solution de @noobey (peut-être donc une répétition).
    Edit après avoir lu la solution de noobey, c'est la même.
    On utilise  développement en série entière de $\frac{1}{1-x^n}$ 
    $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{1-x^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n )\sum_{k=0}^{\infty}x^{nk} $$le coefficient de $x^p$ (p>1) dans la somme ci dessus   est $\sum_{d|p}\phi(d)=p$, donc$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{1-x^n}=\sum_{p=0}^{\infty}px^p=\frac{x}{(1-x)^2}$$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • @noobey 👍
    Bon, j'ai voulu commencer par quelque chose d'abordable comme on est dans les premiers jours, mais du coup c'est résolu à 1h30 du matin.  :D 

    Qui est harazi, noté pour le 20 décembre ? 
  • Une question d’un très vieux fil resté ouverte par harazi(c’est etanche qui a eu l’idée)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Je veux bien prendre un deuxième jour. Merci :)
  • C’est fait
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • S'il te plait @GaBuZoMeu prend un jour pour proposer une question. Je suis un de tes fans.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Il n’y a plus de place mais Calli(qui a beaucoup de place) peut en laisser une(s’il veut bien) Pour GaBuZoMeu(s’il participe)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Bonjour, je n'avais pas vu. Peut-être posterais-je un exo facile (de mon cru) le 4 (en espérant ne pas être ridicule), car Calli a réservé plusieurs jours.
  • Modifié (2 Dec)
    Je mets de côté la partie arithmétique de l'exo (merci pour cet énoncé !).
    Soit $x>1$. On a $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\phi(n)}{x^n-1} = \sum_{n=1}^{+\infty} \phi(n)x^{-n} \sum_{k=0}^{+\infty} x^{-nk} = \sum_{(n,j)\in (\N^*)^2} \phi(n) x^{-nj} = \sum_{m=1}^{+\infty} \sum_{n|m} \phi(n)x^{-m} = \sum_{m=1}^{+\infty} m x^{-m} = \frac{x}{(x-1)^2}.$
  • Bonne nouvelle : Fin de partie pourra participer :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • @gebrane : Attention, ta première égalité est fausse car $x>1$ (et non $|x|<1$). Tu trouves quand même le bon résultat, mais parce qu'il y a une deuxième erreur ensuite qui "compense" la première.

    @Julia Paule : D'accord. Comme tu hésites, si tu postes un exo mets-le le matin (disons avant 11h car c'est dimanche), sinon je penserai que tu laisses tomber.

    Je peux aussi laisser un jour à @GaBuZoMeu.
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