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Tautologie ?

Modifié (22 Nov) dans Fondements et Logique
Bonjour
Je me pose une question philosophique sur ce qu'est une tautologie en logique mathématique. Cela peut se résumer par l'exemple suivant.

Merci pour votre aide
Pierre.
«13

Réponses

  • Oui et oui ! Quelle est ta question philosophique ? Et toi, qu'aurais-tu répondu à tes questions ?
  • Quelle différence entre une conditionnelle et une implication ?
  • Oui et oui ! Quelle est ta question philosophique ? Et toi, qu'aurais-tu répondu à tes questions ?
    Je dis comme toi. Mais ce qui me gêne est que Wikipedia donne la définition suivante de la tautologie : "En logique mathématique le mot « tautologie » désigne une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel.

    Cette définition a l'air de dire qu'une tautologie est toujours vraie du fait des règles du calcul logique. Par exemple (A ou non A) est une tautologie. Un peu comme si les variables elles-mêmes ne comptaient pas. Alors que dans l'exemple que je donne, la proposition est toujours vraie non à cause des règles du calcul, mais parce que les variables ne peuvent prendre que des valeurs qui font que ça marche.
  • Modifié (22 Nov)
    Math Coss a dit :
    Quelle différence entre une conditionnelle et une implication ?
    La conditionnelle est un connecteur logique, c'est-à-dire qu'il construit une proposition qui peut être vraie ou fausse. L'implication est une relation binaire entre deux propositions (relation d'ordre).
  • Modifié (22 Nov)
    Ta formule $P(n)\Rightarrow Q(n)$ n'est pas une formule close. C'est plutôt la formule suivante que tu veux considérer :  $\forall n\in E,\ P(n)\Rightarrow Q(n)$.

    Ce n'est pas une tautologie selon la définition de Wikipedia ICI : Aussi, un usage courant en logique mathématique est d'appeler tautologie du calcul des prédicats une formule close obtenue à partir d'une tautologie du calcul propositionnel en substituant aux variables propositionnelles des formules du calcul des prédicats.
  • Il existe différentes définitions de tautologie (certains disent que l'ensemble des mathématiques n'est qu'une vaste tautologie), personnellement, comme wikipedia, je réserve le mot tautologie aux formules ne faisant apparaître que le langage logique et pas celui d'une théorie particulière..

    Je m'interroge sur vos définitions de conditionnelle et implication (qui est un connecteur)
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Modifié (22 Nov)
    Une tautologie est un théorème démontré sans hypothèses (pour un système de démonstration fixé). Par exemple $\forall x (P (x) \Rightarrow P(x))$ est une tautologie du calcul des prédicats (intuitionniste et donc aussi classique).
  • La définition d'implication me laisse bien perplexe. Enfin, elle est inadéquate, quoi.
  • Modifié (22 Nov)
    On parle de tautologie sur un langage. Et comme dit @Foys, c'est un énoncé du langage qui est conséquence syntaxique de l'ensemble vide.
    Sinon $P$ et $Q$ ne sont pas clairement définis, on dirait que $P$ est une application qui à un élément de $E$ associe une formule close paramétrée du langage $\{(<, relation,2),(impaire, relation,1)\}$ idem pour $Q$. Donc pour $x$ une variable, $P(x)$ n'est pas défini.

    Sinon, je laisse ici cette formule du second ordre: $\forall x(x\to x)$. Est-elle une formule valide ?
    Édit. En écriture préfixe cela donne $\forall x\to xx$. Ici $x$ est une variable relationnelle d'arité $0$.
  • PierreCap a dit :
    Oui et oui ! Quelle est ta question philosophique ? Et toi, qu'aurais-tu répondu à tes questions ?
    Je dis comme toi. Mais ce qui me gêne est que Wikipedia donne la définition suivante de la tautologie : "En logique mathématique le mot « tautologie » désigne une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel.

    Cette définition a l'air de dire qu'une tautologie est toujours vraie du fait des règles du calcul logique. Par exemple (A ou non A) est une tautologie. Un peu comme si les variables elles-mêmes ne comptaient pas. Alors que dans l'exemple que je donne, la proposition est toujours vraie non à cause des règles du calcul, mais parce que les variables ne peuvent prendre que des valeurs qui font que ça marche.
    Il faut que tu apprennes ce qu'est le calcul des propositions.
    L'exemple que tu donnes n'a rien à voir avec le calcul des propositions.
    Cherche aussi ce que signifie "distribution de valeur de vérité".
  • Math Coss a dit :
    La définition d'implication me laisse bien perplexe. Enfin, elle est inadéquate, quoi.
    L'implication n'a pas de définition (sauf pour ceux qui l'introduisent comme une abréviation), c'est juste un symbole.
  • Modifié (22 Nov)
    Je ferais quand même remarquer (question d'être pointilleux, sous-forum logique oblige  ... :mrgreen:) qu'il y a une différence entre formule universellement valide et tautologie selon le Cori-Lascar. Les tautologies du calcul des prédicats sont les formules universellement valides obtenues à partir de tautologies propositionnelles (donc en remplaçant les variables propositionnelles par des formules).

    Donc il ne suffit pas d'être une conséquence syntaxique de l'ensemble vide.
  • Tu as raison 😆

  • raoul.S a dit :
    Je ferais quand même remarquer (question d'être pointilleux, sous-forum logique oblige  ... :mrgreen:) qu'il y a une différence entre formule universellement valide et tautologie selon le Cori-Lascar. Les tautologies du calcul des prédicats sont les formules universellement valides obtenues à partir de tautologies propositionnelles (donc en remplaçant les variables propositionnelles par des formules).

    Donc il ne suffit pas d'être une conséquence syntaxique de l'ensemble vide.
    Cette terminologie a vieilli, même si les tautologies propositionnelles (celles dont tu parles) jouent un rôle.
  • Quelle est la terminologie actuelle ? tautologie = universellement valide ?
  • Dans la vie courante quand les gens parlent de tautologie, ils parlent d'une phrase qui est trivialement vraie pour raisons grammaticales. Cela est correctement capturé par la définition de tautologie comme théorème sur l'ensemble vide.
  • Modifié (22 Nov)
    Cependant, je refuse de remplacer des "variables propositionelles" par des formules 😓 en effet, les variables propositionelles ne sont pas des variables contrairement à ce que dit leur nom, ce sont des constantes relationnelles d'arité $0$.
    J'ai une version des tautologies du calcul des propositions qui utilise les variables relationnelles d'arité $0$. C'est plus "normal" d'y faire des remplacements par des formules 🙂

  • Ça ne me démange pas plus que ça personnellement, mais fais comme chez toi :mrgreen:
  • Modifié (22 Nov)
    Le vocable "variable propositionnelle" est là pour la construction suivante:
    Soit $V$ un ensemble (de variables propositionnelles donc), $P$ l'ensemble des formules propositionnelles sur $V$ (les connecteurs envisagés ci-après sont $\forall$ et $nand$ pour rédiger plus vite) $\sigma$ une signature, $L$ un ensemble de lettres, $F(L)$ l'ensemble des formules du premier ordre sur $\sigma$ dont toutes les variables libres sont dans $L$. Soit $(e_v)_{v\in V} \in F(L)^V$. On définit une fonction $\theta$ de $P$ dans $F(L)$ par induction en posant $\theta (v):=e_v$ pour tout $v\in V$ et $\theta (nand (p,q)):= nand (\theta (p),\theta (q))$.
    Alors, pour toute tautologie du calcul propositionnel $f$, $\theta(f)$ est démontrable, ou, ce qui revient au même (complétude) "universellement valide" (on devrait dire "tautologie") au sens suivant: pour toute $\mathcal L$-structure pour $\sigma$ dont l'ensemble de base est $M$ et toute fonction $\varepsilon$ de $L$ dans $M$, la valeur de vérité de $\theta(f)$ dans l'environnement $\varepsilon$ est égale à 1 (ou "vrai").
  • Après vous généralisez à d'autres logiques: la logique propositionnelle peut s'interpréter facilement dans les autres.
  • Je ne suis pas bien au fait de ces choses là. 
    Légère question dont j’espère je comprendrai les réponses…

    Avec les notations du premier message de ce fil : 

    1) soit $n\in E$, alors : 
    Phrase 1 : $P(n)\Rightarrow Q(n)$

    2)
    Phrase 2 : $\forall n\in E, P(n)\Rightarrow Q(n)$

    La question : est-ce la Phrase 1, la Phrase 2 ou les deux phrases qui sont une tautologie ?
  • @Dom, la deuxième "phrase" n'est pas une formule, et la première n'est pas universellement valide.
  • Modifié (22 Nov)
    Sinon pour la question au début: $\to$ est un symbole, et généralement $\implies$ est une notation pour signifier $si...alors...$
    Aussi, parfois on note $\to$ avec la notation $\implies$ (c'est mieux d'éviter).
  • DomDom
    Modifié (23 Nov)
    Ok. Je suis embêté. 
    Moi, je vois deux symboles : $\to$ et $\Rightarrow$.
    Chaque symbole est utilisé pour une notation, disons binaire (je veux dire que l’on a deux objets autour). 
    J’admets que je ne connais pas la signification de $A \to B$. (***)
    Je sais en revanche ce que signifie $A\Rightarrow B$ (si… alors…). 

    (***)Était-ce la question de Math Coss, que je salue au passage, en début de fil ?

    Je conviens qu’une bonne lecture sur ces sujets ne me ferait pas de mal. 

  • Je suppose que $\rightarrow$ est aussi un symbole et qu'il n'admet donc pas de définition.
  • Oui. 
    C’est pourquoi j’ose demander quelle est la définition de $A\to B$.
  • Modifié (23 Nov)
    J'ai déjà répondu.
    Ces questions scolaires mériteraient d'être posés en dehors du sous-forum logic. Je ne vois pas d'inconvénients à ce que les algébristes ou les géomètres s'en occupent.

  • Oups… je vais regarder d’un PC (sur le téléphone… ça saute, ça saute, et parfois ça saute…). 

    Rien que pour appuyer il faut « viser » sinon ça appuie sur autre chose… une sorte de ball-trap… 
  • DomDom
    Modifié (23 Nov)
    J’ai réussi à trouver ce site : https://lexique.netmath.ca/implication/

    Je comprends mieux (même si n’étant que béotien je saisis un peu… sans pouvoir m’approprier ce sont-ils). 



    Zut, ils disent aussi « si… alors… » pour $\to$. 
    Mais ce n’est pas « au même niveau » me dis-je…
  • Modifié (23 Nov)
    Franchement, parfois j'ai juste envie d'éviter la plupart des questions et conversations dans le sous-forum logic.
    Les gens confondent largement logique et philosophie, mais aussi ils confondent logique et scolaire, on récupère toutes les questions niveau cm2 que les gens n'osent pas poser dans les autres sous-forums, et on récupère des conversations où il faut intervenir pour sauver les meubles. 
  • DomDom
    Modifié (23 Nov)
    Heu… est-ce moi qui provoque ce message ?
    Si c’est le cas je le trouve assez indigne. 
    Sinon, je ne vois pas pourquoi arrive une telle réponse à ce moment. 

    « Question scolaire » ?
    Parlons des « réponses » dans ce cas. 
    Quel culot !
  • Bonjour, 
    @cohomologies Si tu as envie d'éviter certaines questions alors le mieux est sûrement de suivre ton envie. Je ne pense pas que tes réponses manqueront aux personnes qui sont en droit de se poser des questions de logique même si elles ne te plaisent pas.
    Moi non plus, je ne connais pas la différence entre implication logique et conditionnelle. Tu devrais te renseigner un peu au lieu d'être méprisant car ce n'est pas au programme du CM2 et je doute que cela l'ait été un jour. De toute façon, je ne vois pas en quoi une question de niveau CM2 n'aurait pas sa place, si les intervenants ne sont pas capable de se mettre au niveau de la demande, le problème vient d'eux.
  • cohomologies a dit :
    Franchement, parfois j'ai juste envie d'éviter la plupart des questions et conversations dans le sous-forum logic.
    Les gens confondent largement logique et philosophie, mais aussi ils confondent logique et scolaire, on récupère toutes les questions niveau cm2 que les gens n'osent pas poser dans les autres sous-forums, et on récupère des conversations où il faut intervenir pour sauver les meubles. 

    Il n'y a aucun problème avec ça. Les questions sont simples parce que la discipline est méconnue.
  • Je voudrais aussi ajouter à mon message précédent, c'est que la définition d'une tautologie (celle de Foys est simple et correcte, et nettement plus propre que la mienne (même si c'est la même)) ne sert jamais (AFAIK) dans une démonstration, et que connaître la définition de terme, de formule atomique, etc. serait bien plus utile.
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Modifié (23 Nov)
    Quel mépris, de la part de Cohomologie : "les questions niveau cm2 " "Ces questions scolaires mériteraient d'être posés en dehors du sous-forum logic. Je ne vois pas d'inconvénients à ce que les algébristes ou les géomètres s'en occupent."
    Il n'y a d'ailleurs même pas de sous-forum "logic". Et les forums "algèbre" et "géométrie" traitent de questions qui ne sont jamais "niveau cm2 ", tous les gens intelligents le savent.
  • @Vassillia et @gerard0 ce n'est pas du mépris. Je suis juste fatigué que le sous-forum logique doive être le seul à traiter les questions scolaires, il faut peut-être créer un sous-forum "questions scolaires" ou éparpiller ces questions dans tous les sous-forums.
    @Foys, la discipline est méconnu en France probablement à cause de Bourbaki qui n'aimait pas beaucoup la logique apparemment. (D'ailleurs ma plus grande déception c'est le fait que feu Grothendieck n'aimait pas la logique.)
    @Dom ce n'est pas que toi, c'est la plupart des conversations dans ce sous-forum, j'en suis juste fatigué, mais @Foys et @Médiat_Suprème ont le mental pour continuer, donc ça va.
  • Modifié (23 Nov)
    raoul.S a dit :
    Quelle est la terminologie actuelle ? tautologie = universellement valide ?
    Après vérification force est de reconnaître que c'est toujours le sens de tautologie du Cori-Lascar qui est utilisé massivement dans les textes même aujourd'hui (une tautologie du calcul propositionnel à laquelle on a substitué les variables propositionnelles par des formules du langage utilisé, par exemple le calcul des prédicats).
    Je n'aime pas (un quidam dans la rue trouverait que "pour tout chien, si ce chien a des poils blancs alors il a des poils" est une tautologie) mais il s'agit d'une opinion personnelle. Je signale la terminologie courante pour raisons sociologiques (c'est celle que les lecteurs rencontreront). Je fais un mea culpa pour les gens qui ont dû s'interroger sur mon message.
  • Grothendieck disait "@cohomologies étale".
  • La différence entre $\rightarrow$ et $\implies$ est-elle que $a \rightarrow b$ n'est pas nécessairement à valeurs dans $\{Vrai, Faux\}$, $a \rightarrow b$ pouvant être égal à un ouvert (je ne sais plus si on appelle ça la sémantique, ou l'interprétation, ou...) ?
  • Cohomologie, le forum n'est pas fait pour que des spécialistes discutent entre eux. Et qualifier de "questions scolaires" ce sujet est du mépris; et tu continues...
    Heureusement que d'autres sont moins hautains. 
  • @marco une sémantique est juste une fonction de l'ensemble des formules vers autre chose (qui n'est pas exclusivement un ensemble à deux éléments en effet...)
  • D'accord, merci.
  • Modifié (23 Nov)
    Foys a dit :
    Après vérification force est de reconnaître que c'est toujours le sens de tautologie du Cori-Lascar qui est utilisé massivement dans les textes même aujourd'hui...
    OK, merci Foys c'est noté.
  • DomDom
    Modifié (23 Nov)
    Je fournis un document, encore qui parle exactement de la différence des deux symboles. 
    Il évoque également les confusions (maladroites ou assumées) dans le secondaire au moins.
  • Modifié (23 Nov)
    @Dom ce n'est pas pour casser l'ambiance mais ce genre de document (qui est un concentré du pire) est l'une des raisons pour laquelle tant de gens ont du mal à se mettre à la logique (l'apprentissage de la logique mathématique ne demande pas d'autres ressources mentales que celles que l'individu ayant une formation mathématique possède déjà - je le sais parce que c'était mon cas et que la logique n'a pas fait partie de ma formation initiale - c'est-à-dire pouvoir lire des textes où il y a des définitions, des théorèmes et des preuves qui sont les mécanismes explicités réalisant l'affirmation).
    Il y a des gens qui refusent de faire le deuil de l'idée que $A \Rightarrow B$ entraîne $A$ et que (par exemple dans le texte que tu as mis en lien) si jamais le connecteur implique employé ne satisfait pas cette requête et bien il faut lui en substituer un autre qui lui se plierait à ça.
    Si vous attendez d'avoir mettons 50 ans pour vous débarrasser de ce préjugé eh bien vous aurez des confusions que vous trouverez désagréables jusqu'à l'âge de 50 ans.
    Les "rapports de sens entre A et B" etc sont des incantations pédagogiques qui s'avèrent être des boulets et non des bouées de sauvetage.
  • Mais oui, l’auteur se lamente à l’idée de lire une phrase qui commence par « si $1+1=2$ »… Je suis d’accord avec Foys et me suis senti libéré quand j’ai arrêté de m’en faire à cause de ces histoires.
  • Modifié (23 Nov)
    Ça ne m'a jamais dérangé non plus cette histoire d'implication. D'ailleurs dans les cours niveau lycée on ne l'utilise pas principalement dans le cadre du modus ponens ? De $A$ et $A \Rightarrow B$ on déduit $B$, d'où les suites d'implications que l'on voit parfois lors de certaines résolutions d'exos.
  • DomDom
    Modifié (23 Nov)
    Ça alors. Qui va produire un document valable alors ?
    On me renvoie à « je l’ai déjà dit plus haut », super (d’ailleurs j’ai cherché en vain…). Ensuite on me renvoie à « ce document est merdique ». Je prends à la lettre vos commentaires. Ça ne me gêne pas. Ce n’est pas moi qui ai rédigé ces choses. 
    Mais qui va parvenir à donner deux définitions, l’une avec $\to$ et l’une avec $\Rightarrow$ dans le même message ? 
    Il y a trois solutions :
    1) on rédige proprement ces deux définitions (désolé je n’ai pas vu ça)
    2) on annonce « je ne sais pas le faire bien »
    3) on dit « c’est long, c’est bien expliqué ici » et on fournit un lien
    Quant à ceux qui renvoient à une bibliographie, ça ne me gêne pas, c’est une bonne méthode même, mais alors il faut savoir : annoncer « c’est simple » n’est pas très cohérent avec « tu devrais lire trois tomes avant de venir ici ». Soyez cohérents. 
    Je ne parle pas de la solution la plus puérile qui a été de parler de questions « scolaires de CM2 ». C’est exactement le prof qui rame et qui dit à son élève « m’enfin, c’est simple » comme seul artifice didactico-pédagogique. On ne le remerciera jamais assez. Il pourrait même mettre une taloche derrière la tête de son élève, ça devrait aller plus vite. 
    On a eu le droit à ce message aussi : 

    Appréciez…
    Cependant PierreCap a répondu. C’est disons « en prose » mais ça contient peut-être la réponse ?
  • Modifié (23 Nov)
    Personnellement j'utilise $\to$ et $\Rightarrow$ interchangeablement, avec une préférence pour "$\to$" quand j'ai la flemme ("\to", à la place de "\Rightarrow")
    Il n'y a pas de différence...
  • Je te remercie !
    C’est clair !
    Christophe faisait cela aussi. J’avais compris qu’il utilisait $\to$ uniquement parce que c’était plus rapide à écrire. 
    Ce fil m’a intéressé car c’est la première fois que j’entends parler des deux symboles et que pour des auteurs il en existe bien deux. 
    C’est pour ça que je suis intervenu. 
    J’ai trouvé que ça tournait autour du pot en début de fil. 
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