Deux segments égaux
Bonsoir,
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. M, N le milieu de l’arc BC ne contenant pas A, la circumtrace de la A-hauteur
4. K le point d’intersection de la parallèle à (MB) issue de O avec (AB)
5. L le point d’intersection de la parallèle à (MC) issue de O avec (AC).
Question : NK = NL
Merci pour votre aide pour la
figue.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
En barycentriques:
Cordialement,
Rescassol
Si $E_1,E_2$ sont les centres des cercles de pappus, alors l'enveloppe de $E_1E_2$ est le cercle centré en $O$ et de rayon $R/2$
JLB, il suffit de rajouter;
$KNLP$ est ce qu'on appelle un cerf-volant.
Cordialement,
Rescassol
Ton équation étant celle d'une conique, de quelle courbe parles-tu?
Quant à l'enveloppe de Pappus, prenant pour origine $O^{\prime }=O+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{O^{\prime }O}$ comme vecteur directeur de l'axe polaire, c'est la cardioïde d'équation polaire $\rho =\dfrac{2R}{3}\left( 1+\cos \theta \right) $.
Bien cordialement. Poulbot
Le lieu de $\Omega$ quand $A$ décrit le cercle circonscrit.
Cordialement,
Rescassol
Ce cerf-volant, figure que l’on rencontre au collège, est l’exemple de quadrilatère (convexe) possédant un axe de symétrie sans être un losange.
Je ne comprends toujours pas parce qu'il me semble évident que $\Omega $ se promène sur la médiatrice de $\left[ OP\right] $.
Bien cordialement. Poulbot
Pour Géogébra, le lieu de $\Omega$ semble être la réunion de deux segments de droites, donc la conique devrait dégénérer, mais mon équation ne se factorise pas. Je réfléchirai à la question plus tard.
Cordialement,
Rescassol
Bonjour,
Un début du schéma de ma preuve :
1. en appliquant deux fois le théorème de Reim, P, A, O, K et L sont cocycliques
2. en notant (U) ce cercle, R le second point d’intersection de (AN) avec (U) et en appliquant le théorème de Reim,
il s’ensuit que le quadrilatère RNMO étant un parallélogramme
3. le trapèze cyclique AROP étant isocèle, il s’en suit que le quadrilatère PRNO est un losange.
Je laisse le soin à un intervenant de continuer…
Sincèrement
Jean-Louis
merci de cette justification ultra-rapide
Amicalement. Poulbot
J'ai trouvé mon erreur, et pas une des moindres. Il fallait bien que ça m'arrive, à force de faire du Morley.
Pour trouver le lieu de $\Omega$, au lieu de faire varier $A$ sur le cercle circonscrit, j'ai fait varier le réel $a$ qui n'a rien à voir.
J'aurais dû faire du Lubin $2$.
Cordialement,
Rescassol
On se donne $C_1,C_2$ et deux points $A,B$ sur la médiatrice de $C_1,C_2$. Il en résulte $\cir a(A,C_j)$ et $\cir b (B,C_j)$. On fait pivoter une droite par $C_1$. Elle recoupe les cercles en $D_a,D_b$, tandis que la pivotante issue de $C_2$ recoupe les cercles en $E_a,E_b$. Alors la perpendiculaire commune à $D_aE_a$ et à $D_bE_b$ et la droite des centres sont également inclinées sur les pivotantes. Ce résultat a-t-il déjà été publié ?
Cordialement, Pierre.
Bonjour,
la fin du schéma de ma preuve :
4. (AR) et (Ao) étant deux A-isogonale du triangle AKL inscrit dans (O), (KL) // (RO)
5. conclure avec le théorème de la médiatrice…
Sincèrement
Jean-Louis.