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Représentation du calcul d'un déterminant à l'aide d'un echiquier

Modifié (22 Nov) dans Algèbre
Bonjour amis des maths
Partant de la définition du calcul d'un déterminant, et à l'instar de la règle Sarrus, j'ai voulu trouver une représentation graphique du calcul d'un déterminant.
L'idée est de partir d'un échiquier de $n\times n$ cases.
Le terme $a_{ij}$ sera placé dans la case correspondante de l'échiquier.
Le terme produit  $a_{s(1)1}\times a_{s(2)2}\times\cdots\times a_{s(n)n}$ correspond en fait à une configuration de l'échiquier où je dispose $n$ tours qui ne sont pas en conflit l'une avec l'autre (exemple pour $s=Id$, les tours occupent la diagonale).
Le signe de ce produit pourra être calculé en comptabilisant les orbites paires et impaires de la permutation correspondant à la disposition choisie.
Le déterminant qui est alors la somme de ces $n!$ termes peut être rapproché au $n!$ configurations possibles de cette échiquier doté de $n$ tours.
Cela ne me facilite pas le calcul du déterminant, mais je trouve que cette idée concrétise un peu la notion de déterminant ou plutôt celle de son calcul.
Faites-moi savoir, si je fais une erreur de raisonnement. Qu'en pensez-vous ?

Réponses

  • Modifié (22 Nov)
    $\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Remplacer "définition du calcul d'un déterminant" par "définition de la fonction déterminant".
    Pour tout $n\in \mathbb N$, pour tout $\sigma \in \S _n$, on notera $l_{\sigma} := i\in n \mapsto (i,\sigma (i))$.
    Soit $\mathcal A := (A;+;.;1;0)$ un anneau, on notera $\Pi_\mathcal A$ la généralisation de la loi du monoïde $(A;.;1)$ et on notera $\Sigma_\mathcal A$ la généralisation de la loi du monoïde Abélien $(A;+;0)$.
    Soit $n\in \mathbb N$, soit $u\in A^{n\times n}$, on définit $\det(\mathcal A ,u):=\Sigma _\mathcal A (\sigma \in \S _n \mapsto \epsilon (\sigma) \Pi _\mathcal A(u\circ l_{\sigma}))$.
  • Modifié (23 Nov)
    Merci  cohomomologies pour ta réponse et ton attention :smile: 
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