Commentaires sur un texte pour le collège

Dom

Sans rire…
Une écriture devient l’autre. 

On peut reprocher tout ce que l’on veut a celle que l’on a adoptée, ça me va très bien. Mais croire sincèrement que ce que l’on y propose dans ce fil à la place est « mieux », j’avoue que ça m’intrigue.

[Utilisateur supprimé]

Soc a dit :

752,315x001= ? Top chrono!

J'ai fait des algos pour faire les opérations scolaires dans toute base, mais je n'ai jamais traité les nombres non entiers.
Là il est vrai que cela ne reviendra pas à un décalage de la virgule, il faudrait traiter les deux éléments du couple (752,315) séparément, multiplier le premier par cent est facile (on mets deux zéros au début) multiplier le deuxième par 100: on avancent la virgule de deux crans et on inverse ce qui est passé de l'autre côté de la virgule, ensuite on n'a plus qu'à additionner.

@Vassillia l'ordre de grandeur est un faux argument puisque quand tu lis tu ne sais pas de premier abord les unités que dénombre le premier chiffre, ça pourrait être les milliards, les millions...tout ce que tu sais c'est le chiffre.

Vassillia

Sauf que j'ai une vision globale qui fait que je sais immédiatement combien il y a de chiffres approximativement, je ne lis plus caractère par caractère depuis bien longtemps.

Dom

Bizarre, Vassillia, n’es-tu pas une machine de Türing, comme tout le monde ?

[Utilisateur supprimé]

Je ne sais pas comment tu fais @Vassillia.
Sinon, j'ai trouvé un algo simple pour la multiplication par dix: $dix*(a,b)=((b(0))a, (b(1),...,b(dom(b)-1))$
En gros tu supprimes le premier chiffre de $b$ pour le placer au début de $a$ 😅 un jeu d'enfant.
Édit. Du coup pour l'exemple @Soc: $001*712,315=13712,5$ 
Edit2. Je m'aperçois que @Vassillia avait déjà donné la réponse, (bon, j'aurais juste donné l'algo alors).

Soc

Pas mal...
312,89+69,4=? Top chrono!

Vassillia

Ah ça se complique, bon alors 0,89+0,4 = 1,29 donc je vire le 1 tout au début.
4+6=01 je retiens 1 puis 2+9=11 je retiens 1 puis 3
Donc je parie sur 013,29

Soc

Je vois que la notation est adoptée avec aisance,  je retire donc mes objections !

nicolas.patrois

Dom a dit :

Bizarre, Vassillia, n’es-tu pas une machine de Türing, comme tout le monde ?

Les noms de famille anglais ne prennent pas de tréma en général, contrairement aux noms de groupe de heavÿ metäl.

[Utilisateur supprimé]

0001 mercis à @Vassillia qui a su convaincre @Soc.
Je vais peut-être faire un fil où je mets les algos pour les opérations scolaires (le langage de programmation c'est caml light), pour des raisons de complexité je prenais comme base de données l'écriture inverse du gros-boutiste.

Vassillia

Certes mais j'ai utilisé mon "super pouvoir de vision globale" pour repérer directement la virgule et commencer par calculer la partie décimale. Si je ne l'avais pas fait, tout le bénéfice de cette notation, qui est d'écrire directement les chiffres obtenus, disparait puisque je ne connais pas la retenue à utiliser pour calculer la partie entière.

Je pourrais éventuellement militer pour la version de @nicolas.patrois qui permet de se comporter comme des machines de Turing et d'envoyer le résultat en temps réel au lieu d'attendre le traitement de tout le calcul. Mais inconvénient notable : lorsque la partie décimale n'est pas fini, c'est un petit [peu] dommage de commencer par elle dans l'écriture.

Bref, même si c'est amusant d'imaginer comment calculer en changeant les règles d'écriture et que tu as tout à fait raison d'écrire des algos le permettant, de là à considérer que ce serait une amélioration, il y a une marge pas si facile à franchir.

[Utilisateur supprimé]

D'un point de vue mathématique, il y a deux fonctions qui à chaque couple associent respectivement sa première composante et sa seconde composante, donc nul besoin de lire $a$ pour travailler sur $b$ si la donnée est  $(a,b)$, d'un point de vue informatique on a la même chose. 
D'un point de vue humain, on a choisi de noter $[couple]ab$ sous la forme $a,b$. Si on choisit de noter les couples comme des matrices colonnes à deux lignes, on n'aura pas à chercher la virgule (pas seulement parce qu'il n'y en aura pas 😅).

Edit. Ce que j'ai en tête c'est le travail avec de très grands nombres avec lesquels on n'a pas nécessaire de "vision globale".

Patrick123

Je tiens à remercier les personnes qui ont des commentaires, merci beaucoup !

@nicolas.patrois
Euh, 0 un diviseur de zéro, j'ai un peu du mal.  Cela dépend si on exige qu'il y ait UN SEUL facteur X, tel que A * X = B pour dire que A est diviseur de B, ou s'il y existent DES FACTEURS tel que A * X = B ; mais dans le dernier cas, la division n'est pas déterminée.  C'est un peu embêtant pour le moins d'avoir des diviseurs dont on ne peut pas déterminer le résultat de la division...

Car au départ, la notion de diviseur était "on peut faire la division".

gerard0

Bof !!

Le nombre de mots qui se sont éloignés de leur origine étymologique est impressionnant. Donc il est normal que "diviseur", dont l'origine était peut-être "on peut faire la division", mais ce n'est pas sûr (c'est ton interprétation), ait pris un sens qui est lié à multiple : si b est un multiple de a, alors a est un diviseur de b. On apprend ça au collège !

Et si tu veux parler de maths, il te faut utiliser le vocabulaire habituel des maths.
Cordialement.

nicolas.patrois

Autrement dit, b est dans la table de multiplication de a.

Soc

J'aurais tendance à couper le 0 en deux! Au collège ça ne me pose pas de problème d'exclure 0 des diviseurs et ainsi se débarrasser de ce cas particulier qui pourrait presque les inciter à diviser par 0 là où ils n'ont déjà pas beaucoup de retenue. Au lycée on leur dit que la définition du collège manquait de rigueur pour éviter de trop les perturber et on y rajoute 0. Les matheux font un infarctus mais les enseignants survivent (ce qui fait donc des enseignants matheux des morts-vivants, c'est plutôt hype).

Dom

Le problème au collège est tout de même la définition qui n’est quasiment jamais acquise. 

Zéro ou pas ne change rien. 

« … s’il existe … tel que… » est vraiment difficile. 

« … s’il est dans la table de… » est mieux appréhendé. 

Soc

"... si la division tombe juste, autrement dit si le quotient est entier". Mais pour ça il faut déjà que ledit quotient existe...

b.b

On peut aussi dessiner la droite des réels et la graduer avec les multiples de $a$, certains élèves comprennent mieux ainsi. 

Foys

Un diviseur d'un entier (relatif) $t$ est un entier $s$ tel qu'il existe un entier $r$ tel que $rs = t$. Ainsi $0$ est-il un diviseur de $0$. Le reste est de la graisse rajoutée artificiellement par les pédagogistes sur ces affirmations simples.

Dom

Ha non, pour moi on doit bannir « si la division tombe juste » ou « si le quotient est entier ». Non, ça c’est non. Dire que ça coïncide avec un quotient entier… certes… mais pas de définition comme ça de mon point de vue.  

Foys, je suis d’accord mais il y a un « mais » !
1) L’élève ne lit pas
2) L’élève, quand il a un doute et est de bonne volonté, adapte le langage courant à la situation (et donc c’est parfois cocasse et contre-productif)
3) L’élève n’est pas toujours de bonne volonté
4) Le prof peut être enquiquiné si les copies sont blanches ce qui ne facilite pas le fait d’accepter le « 3) ». 

gerard0

Je ne crois pas que ce sont les "pédagogistes" qui ont défini les diviseurs comme les nombres qui divisent. Toute l'histoire des maths est le récit d'un effort pour épurer les notions. Au débuts de l'arithmétique, 0 n'était pas un nombre, ni même une idée mathématique, et 1 n'était pas un nombre.

Il faudrait arrêter avec les affirmations idiotes ...

Soc

@Dom: tu peux préciser ton objection?

Foys

Les élèves sont-ils obligés de revivre les 2000 ou 3000 ans d'histoire et de passer par tous les errements des gens du passé en maths ou bien non, ils peuvent manipuler tout de suite les versions définitives et épurées des concepts?

Vous évitez aussi de dire qu'un carré est un rectangle dans vos classes pour les épargner ?

Dom

Tout un tas de choses, qui peuvent apparaître comme subjectives, j’en conviens, ou bien qui n’auront peut-être pas de statut « d’arguments ». 

La division est une bête noire (dans la tête d’un collégien ordinaire de 2022). 

L’idée de diviser (bête noire !) pour savoir que le nombre est diviseur m’étonne.

Demander de compléter « 10=5x… » donne plus de succès que de demander « 10$\div$5 » (même si c’est la même chose mathématiquement et que c’est navrant..). 

La notion de divisibilité se fait dans un anneau où a priori il n’y a pas me semble-t-il de question de quotient. 

Les critères très utiles (oui… bon… quand ils sont connus et maîtrisés) disent « est pair » ou « est multiple de 3 » sans que l’on ait à se soucier de connaître le résultat de cette division. Ce sont des théorèmes d’existence. 

biely

Je ne pense pas que la division soit une bête noire pour les collégiens c’est juste qu’on ne leur a pas donné les clefs pour trouver le résultat. Ils ont appris dans le meilleur des cas les tables de multiplication mais pas celles de division. A un élève qui connaît seulement ses tables il répondra juste à la question 24=8×? mais cela ne lui suffira pas pour 24÷8 car là il partira de 24 dans sa tête et il lui faudra connaître les décompositions de 24 ce qui est déjà malheureusement beaucoup plus rarement maîtrisé.

Foys

Quand j'y étais on quittait l'école primaire en sachant diviser à la main un nombre par un autre non nul (nombres à  un nombre quelconque de chiffres) avec une précision arbitraire (en faisant abstraction de la pénibilité de l'opération et du temps que ça prend). Il s'est passé quoi entre temps pour qu'on en arrive à commenter la façon dont cette opération serait devenue beaucoup trop difficile pour un collégien, avec un diviseur d'au plus deux chiffres, et avec une difficulté qui varie selon le diviseur (24 serait particulier etc).

biely a dit :

c’est juste qu’on ne leur a pas donné les clefs pour trouver le résultat.

Il n'y aurait pas un algorithme (notion vantée dans la pédagogie officielle) pour faire ça par hasard. Oh attendez...

Dom

biely, 
c’est donc bien une bête noire, et tu viens de dire pourquoi. 😀

Foys,
il s’est passé plusieurs choses, en effet. 

Mais l’état de l’élève de collège en 2022 est ce qu’il est. Donc je dis qu’il est vain de faire le malin et d’annoncer en sous-texte « avec moi, hop, ce serait comme ça et pas autrement ». 

gerard0

Inutile de discuter ... il me rappelle mes inspecteurs des années 1970 venant annoncer l'évangile des maths modernes, avec le même genre d'argument : "Je viens vous porter la Parole de l'Inspecteur Général Untel".

C'est d'ailleurs le même qui nous dit, 12 ans après "Pour présenter les fractions, les parts de tarte, c'est bien" !!

Quand on n'enseigne pas, c'est facile de parler ...

[Utilisateur supprimé]

@Dom "être un diviseur de" est une notion qui peut être définie sur tout magma. Il n'y a pas besoin d'être sur un anneau.

[Utilisateur supprimé]

1) être un diviseur de : $(\exists zz\times x =y,(x,y))$
Cette formule définit un prédicat d'arité 2 qu'il convient d'appeler "être diviseur de"
2) division: $(((\lnot y=0) \wedge x=z\times y)\vee (y=0\wedge z=0) ,(x,y,z))$
Cette formule définit, lorsque l'on travaille sur un corps, une fonctionnelle d'arité 2 qu'il convient de noter $\div$.

Dom

Certes. Il m’avait semblé qu’on en parlait essentiellement dans les anneaux avec la seconde loi, souvent notée $\times$. 

Je disais aussi que dès qu’on parle de quotient, on triche un peu.

[Utilisateur supprimé]

Un truc qui m'a assez amusé en 2018, c'était la notion de divisibilité sur les monoïdes libres, dans ce cas on dit suffixe cependant. Dans certains cas on peux même parler d'une sorte de division euclidienne entre deux éléments d'un monoïde libre.

b.b

Bonsoir cohomologies

Est-ce qu'il est vraiment utile de se placer à un tel niveau de généralité (divisibilité dans les magmas) ? Tu les supposes commutatifs au moins (ton point 1) définit un diviseur à droite) ? 

[Utilisateur supprimé]

@b.b je ne suppose rien sur le magma. Et les diviseurs à gauche sont les diviseurs à droite du magma opposé. Sinon,  j'aime bien prendre la notion dans sa forme la plus générale, ça permet de faire de belles démonstrations générales et de ne pas s'encombrer l'esprit lorsque l'on veut étudier une notion particulière.

[Utilisateur supprimé]

Rmq: $(\exists z\exists t, \times \times zxt=y,(x,y))$ est probablement plus approprié pour "être un diviseur de" dans le cas d'un monoïde, c'est en tout cas une généralisation, dans les monoïdes, de la relation définie en "1)" .
Dans le cas d'un magma sans neutre, $(\exists z\exists t, \times \times zxt=y,(x,y))$ ne généralise pas "1)".

J'ai noté $\times$ en préfixe.

b.b

Salut

J'ai une référence sous la main pour les monoïdes. Dans un monoïde quelconque, un diviseur est, par définition, un diviseur à gauche et à droite. Autrement dit, si $M$ est un monoïde et $a,b\in M$. L'élément $a$ divise $b$ si et seulement si $b\in aM\cap Ma$.

[Utilisateur supprimé]

C'est plutôt surprenant pour moi, regarde si ton livre indique pourquoi l'auteur fait ce choix.

Dom

On peut généraliser à outrance jusqu’à n’avoir plus rien de praticable. 

Bon… le titre du fil indiquait « … pour le collège ». 

b.b

@ cohomologies L'auteur ne justifie pas son choix.

Je plaide coupable pour détournement de fil.