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Fonction Gamma, encore

J'ouvre un nouveau fil pour ça parce que sinon celui-ci va devenir encore plus bordélique (mais je mets le lien pour qu'on puisse s'y référer).
J'ai donc montré que $z \longmapsto \dfrac{1}{z} \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(1+ 1/k)^z}{1+z/k}$ est définie pour tout $z \in \C\setminus (-\N)$, et que si $\text{Re}(z)>0$, cette fonction est égale à $z \longmapsto \displaystyle \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\text{d}t$. Bien. Ma fonction $\Gamma$ est donc définie là où j'ai besoin qu'elle le soit.
Maintenant, j'ai un petit problème, ou plutôt deux qui se mélangent.
1) Je veux connaitre la régularité de la fonction $\Gamma$. Je "sais" qu'elle est censée être analytique, mais la question, c'est de le démontrer, et j'ai du mal avec ça.
2) La deuxième chose est d'établir la relation fonctionnelle $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$. L'article Wikipédia parle de faire une intégration par parties. Pour ça, on utilise évidemment la définition "intégrale" de la fonction $\Gamma$, mais alors, cette relation fonctionnelle n'est garantie a priori sur la partie $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>0\}$ du plan complexe. Seulement, je "sais" que je suis censé avoir cette relation partout sur $\C\setminus(-\N)$, donc, comment fait-on ? Peut-on garantir l'existence d'un prolongement analytique qui vérifie cette relation, et utiliser l'unicité du prolongement analytique pour dire que $\Gamma$ (puisqu'elle serait analytique sur tout $\C\setminus(-\N)$) vérifie la relation sur tout $\C\setminus(-\N)$ ?

J'ai essayé d'établir $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ à partir de la définition "produit infini" pour m'épargner de devoir "prolonger la relation", mais je n'y arrive pas. Pour montrer que $\Gamma$ est dérivable, je veux utiliser la définition "intégrale" mais je ne connais pas de théorème de dérivation sous l'intégrale avec des paramètres complexes. Il semblerait que je sois bloqué.

Réponses

  • Modifié (21 Nov)
    J'ai lu en diagonale : il existe un théorème d'holomorphie sous le signe intégral, conséquence notamment de la formule de Cauchy. 
  • Ah mais ça me dit quelque chose ! Je vais chercher dans mes papiers, j'ai dû complètement oublier que ça existe... j'ai l'impression que ça me met la tête dans le guidon, cette fonction Gamma, ce n'est pas censé être un truc aussi compliqué normalement.
  • Pour la 2) en lisant l'article de Wikipedia je pense que tu peux procéder ainsi : tu démontres la formule sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>0\}$ en utilisant une IPP puis tu considères la fonction $f:z\mapsto \dfrac{\Gamma(z+1)}{z}$.

    Par 1), cette fonction est holomorphe sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>-1\} \setminus \{0\}$ et elle est égale à $\Gamma$ sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>0\}$ et il est facile de vérifier que $f(z+1)=zf(z)$ sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>-1\}\setminus \{0\}$. En continuant ainsi on prolonge le $\Gamma$ donné sous forme intégrale à $\C \setminus \N$, de plus par unicité du prolongement analytique il n'y a pas d'autre prolongement analytique. Par contre il faudrait montrer que la fonction ainsi prolongée soit la même que celle avec les produits...
  • Oui, justement, l'unicité du prolongement revient poser problème. Ce truc de procéder "tranche par tranche" je l'avais déjà entendu, mais au moment d'écrire les choses proprement ça complique tout.
    Je vais regarder l'histoire d'holomorphie sous l'intégrale en premier, si on peut avoir ça sans faire d'hypothèse circulaire ça sera toujours ça de gagné (difficile d'invoquer des prolongements analytiques si on n'a pas analycité, d'où l'intérêt de le démontrer). Je me fais à manger puis je regarde ça...
  • Modifié (21 Nov)
    @Homo Topi : sinon, tu démontres l'holomorphie de ton produit infini sur $\mathrm{Ré}\left(z\right)>0$. Tu as un théorème pour ça.
  • Modifié (21 Nov)
    Le truc que je ne suis pas sûr de comprendre, c'est à quoi ça me sert, en fait. Je veux obtenir que la fonction $\Gamma$ est analytique sur $\C\setminus(-\N)$, mais, peu importe si j'utilise l'une ou l'autre définition pour le démontrer sur $\{z\in\C\mid\text{Re}(z)>0\}$, je ne sais pas comment étendre le résultat après. Je comprends le principe du prolongement analytique comme "si on dispose d'une fonction analytique qui étend une fonction analytique, alors le prolongement est unique", donc je ne vois pas comment utiliser ça. Je dois mal comprendre quelque chose.
  • Modifié (21 Nov)
    @Homo Topi : $\Gamma$ est holomorphe sur $\mathrm{Ré}\left(z\right)>0$ et est égale à ton produit  sur cet ensemble. Cet ensemble est une partie de l'ouvert connexe $\mathbf{C}\setminus\left(-\mathbf{N}\right)$, partie qui possède un point d'accumulation dans $\mathbf{C}\setminus\left(-\mathbf{N}\right)$. Ton produit est holomorphe sur $\mathbf{C}\setminus\left(-\mathbf{N}\right)$. $\Gamma$ est donc égale à ton produit sur $\mathbf{C}\setminus\left(-\mathbf{N}\right)$.
  • Je sais déjà que $\Gamma$ est égale au produit infini sur $\C\setminus(-\N)$, ça ce n'est pas le problème. Techniquement le produit infini est ma définition de $\Gamma$, et j'ai démontré que l'intégrale était égale au produit. Mais donc ce que tu dis, c'est qu'il faut que je montre que le produit est holomorphe. Et pour ça il y avait des pistes dans l'autre fil, de mémoire...
  • Modifié (21 Nov)
    @Homo Topi : oui, et comme dit plus haut, tu as un théorème pour les produits infinis de fonctions holomorphes : si convergence uniforme sur tout compact contenu dans l'ouvert, etc.
  • Il me faut des énoncés précis, je vais chercher un peu. J'ai un plan de travail, je vais essayer de bosser tout seul. Merci :)
  • Bonjour Homo Topi,
    tu as une excellente note sur les produits infinis de notre ami Alexandre, que certains reconnaîtront, ici :
    Bonne journée
  • Une référence lisible : Analyse réelle et complexe, Rudin.
  • Bon ! Normalement, j'ai réussi à aligner tous les morceaux.
    Pour l'analycité du produit infini, je dois majorer $\bigg|\dfrac{(1+1/n)^z}{1+z/n}-1\bigg|$ pour tout $z$, par une suite $(u_n)_n$ dont la série converge.
    Plus qu'à trouver comment on fait ça... je vais essayer tout seul, j'appellerai au secours si besoin.
  • Je pense que c'est impossible, rien qu'en traçant ça sur $\R$ sur GeoGebra on a une limite infinie...
  • @Homo Topi : pas pour tout $z$ : travaille sur les compacts inclus dans l'ouvert de définition, l'holomorphie (comme la continuité ou la dérivabilité), c'est une propriété locale.
  • En effet, j'ai oublié le compact.
  • Modifié (23 Nov)
    @Homo Topi : je me permets d'attirer ton attention sur une caractérisation de $\Gamma$ qui est moins connue que le théorème de Bohr-Mollerup, qui bénéficie de la popularité de la monographie rédigée par Artin : le théorème de Wielandt.
  • Merci, j'avais déjà l'intention de voir les deux ! J'avais déjà les noms dans mes notes. Je suis juste lent :D
  • Modifié (23 Nov)
    Si tu te souviens bien, je t'avais donné des pistes pour arriver au prolongement analytique de la fonction gamma (notamment sur les questions de régularité). :)

    Sur ce fil -> https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2378297#Comment_2378297 (avec des produits infinis)
    et celui-là -> https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2363166#Comment_2363166 (avec la représentation intégrale sur un contour de Hankel)

    Et quant à l'équation fonctionnelle $\Gamma(1+z) = z \Gamma(z)$, tu peux dire que $\Gamma(1+z) - z \Gamma(z)$ est une fonction analytique sur $\mathbb C\setminus \mathbb Z_-$ (qui est un ouvert connexe) identiquement nulle sur le demi-plan $\operatorname{Re} z> 0$ donc (comme tu as autant de points d'accumulation de zéros que tu veux) cette fonction est identiquement nulle sur $\mathbb C\setminus \mathbb Z_-$ (c'est le principe du prolongement analytique).
  • Le problème que j'ai c'est de faire les choses "dans l'ordre". J'ai trouvé des résultats analogues aux tiens dans mes bouquins, donc là j'essaie de montrer que le produit infini est analytique, c'est un exercice de séries et je suis notablement mauvais en la matière.
    Mon souci principal est l'attitude que je trouve dans pas mal de littérature de tout faire avec la représentation intégrale "parce que ça va plus vite". Pour moi, si tu utilises la définition intégrale pour démontrer que $\Gamma$ est analytique, alors le produit infini est a priori un prolongement quelconque de la fonction définie par une intégrale. Pour moi il faut faire plus de travail pour démontrer que le produit infini est le prolongement analytique de la version intégrale : à commencer par montrer que le produit infini est effectivement analytique (je suis en train, donc). Une fois que ça c'est montré, vu que la version intégrale est égale au produit infini là où elle est définie, alors l'intégrale est analytique là où elle est définie et le produit infini est bel et bien son prolongement analytique. C'est juste plus logique pour moi de faire tout le travail sur le produit infini, au moins c'est fait proprement, même si c'est plus compliqué.
    Pour l'équation fonctionnelle, on m'a donné des pistes, je regarderai après, sinon je vais m'embrouiller.
  • Chez Conway, Lang et Whittaker & Watson (la référence sur les fonctions spéciales) la fonction $\Gamma$ est définie par sa factorisation canonique de Weierstrass, ou plutôt on définit $\frac{1}{\Gamma(z)}$ par $z e^{\gamma z} \prod_{k=1}^\infty (1+\frac{z}{k}) e^{-z/k}$. Ensuite, on démontre la formule intégrale d'Euler (en plus, dans ces bouquins c'est fait de façon assez archaïque, sans la théorie de Lebesgue !).

    Sinon, pour moi, la genèse de la fonction gamma c'est la formule $\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint t^{-n-1} e^t\,\mathrm dt$... on devrait commencer par là pour motiver le prolongement analytique de la factorielle. Le produit infini, la formule d'Euler etc. ça vient après. 
  • D'après le PDF qu'on m'avait donné à lire, historiquement les produits infinis sont venus en premier. Je préfère ça plutôt qu'une définition "ad hoc qui fait marcher les choses facilement". Mais ça, je sais que c'est un parti pris, évidemment. Un peu comme certains ici trouvent que la "meilleure" définition de l'exponentielle est par sa série entière (comme ça on peut tout faire d'un coup : exponentielle réelle, complexe, matricielle...), c'est une approche que je n'aime pas du tout personnellement. Je comprends qu'elle soit "plus économique" mais ça ne me motive pas à la choisir.
    En fin de compte, ces travaux sur $\Gamma$, je les fais pour moi, donc je choisis la progression qui fonctionne le mieux pour moi. Mais c'est toujours intéressant de voir d'autres approches, on finit toujours par apprendre un truc.
  • Ce n'est pas une définition ad hoc, Euler n'a malheureusement pas vécu à la bonne époque (celle de l'analyse complexe, de Cauchy à Riemann). D'ailleurs pour Euler, l'exponentielle est définie par sa série de Taylor. Le concept même de série entière a germé dans l'esprit des mathématiciens depuis Newton et Taylor. La formalisation a pris du temps, elle fut achevée quand Weierstrass imposa la « rigueur allemande » en mathématiques. :)
  • Modifié (23 Nov)
    Je préfère une introduction par l'équation fonctionnelle car, il me semble, que c'est la question qui motive la reflexion. Je ne dis pas que c'est le chemin le plus simple. Mais cela me paraît être le plus naturel.
  • Je travaille à mon affaire de convergence sur les compacts. J'ai un souci, un truc sûrement simple dans lequel je m'embrouille.
    Pour $n \geqslant 1$ entier fixé, $K$ compact de $\C \setminus (-\N)$ fixé, je veux majorer $\dfrac{1}{|1+z/n|}$ indépendamment de $z \in K$. Je sais que comme $K$ est compact, il existe un $r>0$ tel que $|z| \leqslant r$ pour tout $z \in K$. Mais je n'arrive pas à trouver comment m'en servir ici. Je ne fais que m'embrouiller avec les valeurs absolues.
  • Tu pourrais utiliser le fait que le compact $K$ ne peut pas s'approcher de trop près des entiers négatifs.
  • Ah, oui, merci... pour tout $n$, pour tout $z \in K$, on a $z\neq-n$, donc il existe $\varepsilon > 0$ tel que $|1+z/n| \geqslant \varepsilon$ pour tout $z \in K$, donc $\dfrac{1}{|1+z/n|}$ est borné par $1/\varepsilon$. J'étais parti complètement ailleurs, moi.
  • Modifié (24 Nov)
    Ce serait plutôt une minoration de $|z+n|$ par $\epsilon>0$ indépendant de $z$ et de $n$ que tu peux obtenir par compacité et donc une majoration de $\frac{n}{|n+z|}$ par $\frac{n}{\epsilon}$.
  • $z \neq -n$ donc $z/n \neq  -1$ donc $1+z/n\neq 0$ donc $|1+z/n| \geqslant \varepsilon >0$, qu'est-ce qui ne marche pas ?
    Si la majoration a un $n$ au numérateur, j'ai un problème de convergence...
  • Modifié (24 Nov)
    Ton $\epsilon$ dépend de $z$ et de $n$ vu la façon dont tu l'introduis.
    Comme ton compact $K$ est borné, tu peux choisir $n_0$ tel que pour tout $n\geq n_0$ et pour tout $z\in K$, on ait $|z/n|\leq 1/2$ puis en déduire $|1+z/n|\geq 1/2$ donc $1/|1+z/n|\leq 2$.
    Il te reste donc à utiliser que pour un certain $\epsilon>0$ indépendant de $z$ et de $n$, on a pour tout $n\in [1,n_0-1], \frac{n}{|z+n|}\leq n/\epsilon  \leq n_0 /\epsilon$ et tu disposes donc d'un $M>0$ ne dépendant que du compact $K$ tel que pour tout $z\in K$ et pour tout $n\in\N^*, \frac{1}{|1+z/n|}\leq M$.
  • Modifié (24 Nov)
    Comment justifies-tu proprement le $|1+z/n| \geqslant 1/2$ ? Je le vois "sur le dessin" mais pour l'écrire proprement avec des inégalités de module...
    EDIT : appuyé sur "envoyer" sans faire exprès.
  • Modifié (24 Nov)
    @Homo Topi : si $x\in\left[0,1/2\right]$, alors $\left|1-x\right|=1-x\geq 1/2$.
  • Modifié (24 Nov)
    $|1+z/n| = |1-(-z/n)| \geqslant |1-|z/n||$, en effet, ça marche. Je suis juste mauvais :|
  • Modifié (24 Nov)
    Sinon, on a pour tout $z$ et $n$ l'égalité $\ \Big|\dfrac{n}{z+n} - 1\Big| = \dfrac{|z|}{|z+n|}$,
    qui permet de démontrer une convergence uniforme sur $K$ vers la fonction constante égale à $1$ et donc le caractère uniformément borné.
  • Oui, c'est nettement plus simple et plus rapide comme ça. Moins de epsilon et de distinctions de cas. Merci :)
  • Bon, la question de la régularité étant réglée, je passe à l'équation fonctionnelle. @SkyMtn a donné une méthode expéditive (et qui me convient très bien) ici mais (pour le sport, disons) je me demandais si la relation est prouvable sur la formule du produit infini.

    $z\Gamma(z)=\displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(1+1/k)^z}{1+z/k}$

    $\Gamma(z+1)=\displaystyle\dfrac{1}{z+1}\prod_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(1+1/k)^{z+1}}{1+(z+1)/k} = \dfrac{1}{z+1}\prod_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1+\frac{1}{k}}{1+ \frac{1}{z+k}}\prod_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(1+1/k)^z}{1+z/k}$

    Il s'agirait donc de prouver que $\displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1+\frac{1}{k}}{1+ \frac{1}{z+k}}=z+1$. Je n'y arrive pas pour l'instant.
  • C'est un produit télescopique je crois.
  • Modifié (25 Nov)
    Je vois mal quoi télescoper quand $z$ est un non-entier :/. Enfin, je peux continuer à essayer de bidouiller quelque chose en attendant que quelqu'un donne une solution.
    EDIT : si, ça marche ! Le produit peut se réécrire $\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{k+1}{k}\cdot\dfrac{z+k}{z+k+1}$ et là ça se télescope bien en un truc de limite $z+1$.
  • Bonjour

    Dans le document publié par Magnétorax, l'auteur Alexandre Bailleul commet une erreur surprenante à propos du produit infini 

    $Pi_2^{+oo}(1- \frac{1}{n})$ il diverge d'après lui vers 0 ce qui ne veut rien dire

    en fait il converge bien-sûr vers 0 à droite 

    il s'agit d'un produit télescopique en effet : le produit arrêté au rang n se présente ainsi 

    $P_n = \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}.........\frac{n-2}{n-1}\frac{n-1}{n}$ et après simplification il reste 

    $P_n = \frac{1}{n}$ qui tend bien vers 0 ; en fait : $0< P_n < \frac{1}{2}$

    Cordialement
  • @jean lismonde la définition de convergence d'un produit infini donnée dans le PDF demande que la limite soit non nulle.
  • Bon, quoi qu'il en soit, j'ai pu avoir ce que je voulais, donc je passe à la suite.
    Je sais donc que $\Gamma$ est une fonction holomorphe en tout $z \in C$ qui n'est pas un entier négatif. La question est : comment justifie-t-on proprement que $\Gamma$ est méromorphe ? Je me doute bien que chaque singularité est un pôle d'ordre 1 mais comment rédiger ça ?
    En écrivant $\Gamma(z) = \displaystyle \dfrac{1}{z}\prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(1+1/k)^z}{1+z/k} = \dfrac{1}{z}\prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{k(1+1/k)^z}{z-(-k)}$, on met bien les pôles en évidence.
    Pour $n \in \N$ fixé, faut-il démontrer à la main que $(z+n)\Gamma(z)$ est holomorphe au voisinage de $(-n)$ ? Et comment ?
  • Pour déterminer les pôles et leur nature (ordre, résidu) tu peux au choix  
      
    - Réécrire ton produit sous la forme canonique de Weierstrass  $\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{k=1}^\infty \big(1+\frac{z}{k}\big) e^{-z/k}$
    - Utiliser la relation fonctionnelle $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$ pour écrire $\Gamma(z) = \frac{\Gamma(z + n + 1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}$ (ainsi tu peux étudier tranquillement ce qui se passe au voisinage de $-n$).
  • Le deuxième choix m'inspire davantage confiance, je vais essayer ça, mais j'aimerais quand même te demander de m'expliquer comment utiliser la forme de Weierstrass parce que je ne comprends pas vraiment quelle est censée être la méthode.
  • Simplifie simplement le facteur $z+n$ en utilisant l'identité remarquable $1+\frac{z}{n}= \frac{z+n}{n}$ puis démontre que le facteur qui va bien est holomorphe au voisinage de $-n$ en utilisant à nouveau le théorème qui va bien sur les produits infinis d'applications holomorphes.
  • Modifié (1 Dec)
    En fait le problème que j'ai avec ça c'est juste comment l'écrire proprement. Parce qu'on se retrouve avec "produit infini sur tous les entiers sauf un", les théorèmes ne sont pas bien formulés pour ça.
    Alors que $(n+z)\Gamma(z)=\dfrac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}$ on peut l'écrire proprement comme un produit fini et c'est plus simple de justifier que c'est bien holomorphe au voisinage de $(-n)$.
  • Tu peux séparer en un produit fini suivi d'un produit indexé par $k>n$.
  • Hm, pas faux ! Dans tous les cas j'ai préféré l'autre méthode, mais je voulais comprendre ça quand même.
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