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Théorie alternative des ensembles de Vopenka

Modifié (21 Nov) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous
J'en suis à l'étude de la Vopenka's alternative set theory, que tout le monde appelle AST. Dans l'introduction de son livre : "Mathematics in Alternative Set Theory" (1979), Vopenka annonce qu'on peut obtenir un modèle de AST à partir d'un modèle $\omega$-saturé de cardinalité $\aleph_1$ de l'arithmétique de Peano.
Qu'est-ce que c'est exactement qu'un modèle $\omega$-saturé ? (J'ai dû le savoir, mais ça me sort de la tête).
J'ai aussi une autre question, moins intéressante celle-ci : que signifie la locution "w.r.t." ?
Merci d'avance
Martial

Réponses

  • $\omega$-saturé = modèle qui réalise tous les types sur des sous-ensembles finis de paramètres
    wrt = with regard to
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Merci @Médiat_Suprème. OK pour w.r.t.
    Pour ce qui est de la réalisation des types tu peux me donner une définition un peu plus explicite ? Ou alors un exemple ?
    (Je ne suis pas très à l'aise avec les types).
  • Un exemple de 1-type non réalisé par $(\mathbb N, <)$ : 

    $\varphi_n = \exists x (x > n)$
    L'ensemble des $\varphi_n$ est consistant (par compacité) mais n'est pas réalisé par $\mathbb N$, cela voudrait dire qu'il existe un entier plus grand que tous les entiers.
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • J'aurais dit "with respect to" mais ça ne change pas grand-chose.
  • @Math Coss  : merci, mais oui, effectivement, l'idée est la même.

    @Médiat_Suprème  : ce que je ne comprends pas c'est comment un modèle de cardinalité $\aleph_1$ peut réaliser tous les types. Si je reprends ton exemple avec pour modèle un certain $\mathbb{M}$ de cardinal $\aleph_1$ à la place de $\mathbb{N}$ et si je considère l'ensemble des $\varphi_n$ avec $n \in \mathbb{M}$ j'obtiens le même problème que celui que tu signales ci-dessus, non ? Ou alors je délire ?
  • Modifié (21 Nov)
    Bonjour,
    Si je ne dis pas de bêtise :
    La collection des "$x>n$" avec $n$ un entier naturel intuitif est un type sur un ensemble fini de paramètres, et même sur un ensemble vide de paramètres puisque tout entier naturel $n$ est de la forme $s(s(\dots s(s(0))\dots))$.
    En revanche, la collection des "$x>m$" avec $m$ dans $\Bbb M$ n'est pas un type sur un ensemble fini de paramètres car son ensemble de paramètres est $\Bbb M$, qui est infini. Donc la définition de $\omega$-saturé "ne s'applique pas" sur ce type là.
    $\omega$-saturé = modèle qui réalise tous les types sur des sous-ensembles $\color{red}\text{finis}$ de paramètres
  • Si vous voulez un exemple simple de modèle saturé, on considère $(\mathbb Q <)$, c'est un modèle saturé, il réalise tous ses types (facile à voir puisque sa théorie est $\aleph_0$-catégorique)

    Pour les cardinaux plus grands : $(\mathbb C, +, \times)$ est un modèle saturé de la théorie des corps algébriquement clos de cardinal $2^{\aleph_0}$
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Suite à la réponse de @Calli je me rends compte que j'avais mal analysé la question, mais comme cette réponse est correcte ...
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • J'ai encore une question. Un des axiomes de AST est l'axiome des ensembles successeurs : soit $\varphi(x)$ une formule ensembliste. On suppose que $\varphi(\emptyset)$ est vraie et que, dès l'instant que $\varphi(x)$ est vraie, $\varphi(x \cup \{y\})$ est vraie pour tout $y$. Alors $\forall x \varphi(x)$.

    Quelqu'un sait-il si ce truc est un théorème de ZFC (ou d'une théorie plus faible) ?
  • Modifié (23 Nov)
    [Qu'est-ce qu'une formule ensembliste ? Ma réponse doit être fausse.]
    Soit $\phi$ définie par $\phi(x)$ est vraie ssi $x$ est fini, alors $\phi$ vérifie la propriété, car $\emptyset$ est fini et si $x$ est fini, $x \cup \{y \}$ est fini, mais on n'a pas $\forall x, \phi(x)$ car $\phi( \omega)$ est faux.
  • Merci @marco, ta réponse est juste. "$x$ est fini" est bien une formule ensembliste. Elle peut s'écrire "pour tout entier $n$, $x$ n'est pas en bijection avec $n$". Et modulo ACD c'est équivalent à "il n'existe pas de bijection de $x$ sur une partie stricte de lui-même".

    C'était trop facile, lol.
  • "$x$ est fini" est une formule ensembliste, (en présence de l'axiome du choix) c'est une abréviation de "il n'existe pas de partie propre de $x$ en bijection avec $x$", le tout étant lui-même une abréviation d'une formule assez longue que l'on peut exprimer uniquement avec des $\varepsilon$.
  • Modifié (23 Nov)
    @Poirot : Et l'existence d'une bijection avec un entier, ça ne te plaît pas ? "$n$ est entier" étant une abréviation de "$\forall X,\ X \mbox{ transitif } \Rightarrow n \in X$".

    EDIT : En fait j'ai lu le fil en diagonale, je parle peut-être à côté.
  • Modifié (23 Nov)
    @Martial : bonjour. Je contextualise en déposant deux reproductions :
    Il s'agit d'un schéma d'axiomes d'induction.
  • D'abord je ne comprends pas pourquoi je n'ai pas trouvé tout seul la réponse suggérée par @marco. J'étais plongé dans AST, où tout est fini, ou presque, et puis je ne rajeunis point.
    @Poirot : @Georges Abitbol  a raison : tu n'as pas besoin de AC (ni même de ACD) pour affirmer que "$x$ est fini" est une formule ensembliste. Mais c'est vrai qu'en présence de ACD tu obtiens une formulation plus sympa.
    @Thierry Poma : oui, c'est effectivement sur ce livre que je bosse... et c'est effectivement un schéma d'axiomes.
  • @Martial, je suppose que @Poirot voulait dire que la définition de fini par "il n'existe pas de partie propre de $x$ en bijection avec $x$", ne correspond à notre intuition de fini (ou avec la définition de Tarski) qu'avec axiome du choix.

    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Médiat_Suprème  : oui, bien sûr.

    @Poirot : Je pense (enfin j'espère) que tu avais compris que ce n'était point une critique de ma part. C'était juste une clarification plus ou moins m..deuse.
  • Il n'y a pas de mal, et je confirme le dernier message de Médiat Suprême.
  • Modifié (25 Nov)
    Soit $x$ un ensemble. Les énoncés "$\N$ s'injecte dans $x$" et "il existe $y \in \mathcal P(x) \setminus \{x\}$ en bijection avec $x$" sont équivalents sans axiome du choix. En effet si $f: x \to y$ est une bijection, $y \subseteq x$ et $t\in x \setminus y$ alors $u_0:= t$ et pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}:= f (u_n)$ définit une fonction injective.
    On aurait plutôt besoin de AC pour montrer que si $x$ est un ensemble dans lequel ne s'injecte pas $\N$ alors $x$ est en bijection avec un ordinal fini (i.e. un entier).
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