Fonctions holomorphes non constantes et revêtement ramifié

Traversin

Bonsoir,
je m'excuse d'avance présente d'avance mes excuses si je poste dans le mauvais forum, je n'en ai pas trouvé un dédié à la géométrie complexe. Je fais un exercice sur les fonctions holomorphes propres non constantes entre surfaces de Riemann et quelque chose me bloque. Je signale que pour moi, une surface de Riemann est toujours connexe. Je recopie le contenu du polycopié.

"Soient $X$ et $Y$ deux surfaces de Riemann et soit $f : Y \to X$ une application holomorphe non constante propre. Notons $B$ l'ensemble de ses points de branchement/ramification ; c'est un fermé discret de Y. Comme $f$ est propre, $f(B)$ est un fermé discret de $X$. Posons $X' := X \setminus f(B)$ et $Y' = Y \setminus f^{-1}(f(B))$ et considérons l'application induite $\tilde{f} : Y' \to X'$. C'est une application holomorphe non constante et propre, elle est donc en conséquence un revêtement à un nombre défini, disons $n$, de feuillets."

Seule la dernière partie me pose problème, c'est-à-dire sur le nombre fini de feuillets qui est sous-entendu constant. J'ai aussi pu voir sur Analysis Situs que c'est bien le cas, ce nombre est constant mais je ne vois pas pourquoi. Je conçois que les fibres de $f$ sont finies puisque l'application est propre, mais pour en conclure sur le cardinal constant des fibres, je ne vois pas comment faire. En particulier, j'ai l'impression que l'on suppose $X'$ connexe (ou connexe par arcs) pour appliquer le résultat classique des revêtements d'arrivée connexe, mais ce n'est pas du tout évident pour moi.

Je suis un peu cramé après avoir révisé toute la journée, peut-être que c'est simple, je ne sais pas. Auriez-vous des indications s'il vous plait ?
Merci.

Edit : j'ai simplement modifié ma formulation au début du message.

Dagothur

Je n'y connais pas grand chose en surfaces de Riemann, mais il me semble que si on retire un ensemble discret fini de points d'une variété connexe, la partie obtenue reste connexe (à condition que la variété soit de dimension réelle supérieure ou égale à 2 ce qui [est] le cas pour une surface de Riemann)

GaBuZoMeu

Bonjour,

Pas besoin de dire "fini" (d'ailleurs un ensemble fini est toujours discret), mais fermé discret va bien.

L'argument est effectivement que quand on enlève un point dans un disque ouvert, ça reste connexe.

Traversin

Bonjour à vous, vos deux réponses m'ont comblé. Je me donnais pour contre-exemple $\mathbb{R}$ avec un point tout en oubliant que je travaillais dans $\mathbb{C}$ (du moins localement). L'argument de la dimension et du fait qu'un disque ouvert privé d'un point reste connexe m'ont permis de rédiger une petite preuve de ce résultat. Je vous remercie énormément.
Bonne fin de soirée.

GaBuZoMeu

Avec plaisir.