Polytechnique signe de $\binom{n}{k} -2^k$... dimanche 20 novembre 2022 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Polytechnique signe de $\binom{n}{k} -2^k$... dimanche 20 novembre 2022

Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonjour
$n\geq 1$ entier fixé 
1/ Déterminer le signe de $\binom{n}{k} -2^k$ sachant que $0\leq k \leq n$ avec $k$ entier 
2/ Calculer $$A(n)=\sum_{k=0}^{n} \mid \binom{n}{k} - 2^k \mid $$
Merci.
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Réponses

  • Modifié (November 2022)
    Je viens d'essayer avec un tableur. Rien de bien probant...


  • Modifié (November 2022)
    Moi je trouve ça probant ! Appelons $u_{n, k}$ notre quantité. Ton tableau suggère que, à l'exception de $n=0$ et donc $m=0$ dans la formule qui suit), lorsque $T_m \leq n < T_{m+1}$ alors $u_{n ,k} < 0$ si et seulement si $n-m+1 \leq k \leq n$, où $T_m = \frac{m(m+1)}{2}$ est le $m$-ième nombre triangulaire.

    Peut-être que ça ouvre une piste de démonstration...
  • Modifié (November 2022)
    Je viens d’ajouter la 2ème question le calcul de $A(n)$ 
  • Modifié (November 2022)
    Je sais montrer que les nombres $\displaystyle \binom{n}{k}-2^k$ ne sont pas tous positifs lorsque $n\geq 1$.
    \begin{align}\sum_{k=0}^n\left(\binom{n}{k}-2^k\right)=2^n-\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^n-2^{n+1}+1=1-2^n<0\end{align}
    PS.
    Il nous faudrait une formule pour savoir évaluer les sommes :
    \begin{align}\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\end{align} quand $0\leq m\leq n$
    PS2.
    Une telle formule, hélas, n'existe pas selon Wikipedia.
  • Modifié (November 2022)
    Un phénomène très curieux observé.
    Il semble que la somme $0\leq m\leq n,S_m\displaystyle \sum_{k=0}^m\left(\binom{n}{k}-2^k\right)$ n'est négative que pour $m=n$.
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