Expliquer une variation en pourcentage

pi_vert_ou_pi_zza

Bonjour
J'ai un encours total $E$ défini ainsi : $E_t=E_{t-1}+AV_{t}+P_{t}$
où $E_t$ : encours en $t$, $AV_t$ : achats-ventes en $t$ et $P_t$ : effet-prix en $t$.

La même égalité est valable pour une sous-catégorie $e_t$ :
$e_t=e_{t-1}+av_{t}+p_{t}$,
où $av_t$ sont les achats-ventes restreints à la sous-catégorie en $t$ et $p_t$ l'effet-prix restreint également à cette sous-catégorie en $t$.

Je souhaiterais expliquer la variation en pourcentages $\frac{e_t}{E_t}-\frac{e_{t-1}}{E_{t-1}}$ qui s'exprime généralement en points de base plutôt qu'en pourcents. Connaissez-vous une méthode ? Quel est l'effet des achats-ventes $av_{t}$ et des prix $p_{t}$ sur la variation en pourcentage ?

1) Première méthode à laquelle j'ai pensée.
Soient $\tau_{E_{t}}=\frac{e_t}{E_t}$, $\tau_{E_{t-1}}=\frac{e_{t-1}}{E_{t-1}}$, $\tau_{AV_{t}}=\frac{av_{t}}{AV_{t}}$ et $\tau_{P_{t}}=\frac{p_{t}}{P_{t}}$
On a $\tau_{E_{t}}E_t=\tau_{E_{t-1}}E_{t-1}+\tau_{AV_{t}}AV_{t}+\tau_{P_{t}}P_{t}$.
Donc $\tau_{E_{t}}E_t=\tau_{E_{t-1}}(E_{t-1}+AV_{t}+P_{t})+(\tau_{AV_{t}}-\tau_{E_{t-1}})AV_{t}+(\tau_{P_{t}}-\tau_{E_{t-1}})P_{t}$
Donc $\tau_{E_{t}}E_t=\tau_{E_{t-1}}E_{t}+(\tau_{AV_{t}}-\tau_{E_{t-1}})AV_{t}+(\tau_{P_{t}}-\tau_{E_{t-1}})P_{t}$
Donc comme $E_{t}>0$, $\tau_{E_{t}}E_t=[\tau_{E_{t-1}}+(\tau_{AV_{t}}-\tau_{E_{t-1}})\frac{AV_{t}}{E_{t}}+(\tau_{P_{t}}-\tau_{E_{t-1}})\frac{P_{t}}{E_{t}}]E_{t}$
Donc comme $E_{t}>0$, $\tau_{E_{t}}=\tau_{E_{t-1}}+(\tau_{AV_{t}}-\tau_{E_{t-1}})\frac{AV_{t}}{E_{t}}+(\tau_{P_{t}}-\tau_{E_{t-1}})\frac{P_{t}}{E_{t}}$

Néanmoins si l'on raisonne toutes choses égales par ailleurs, avec $av_{t}=0$ puis $av_{t}=X$, $(\tau_{AV_{t}}-\tau_{E_{t-1}})\frac{AV_{t}}{E_{t}}$ n'est pas l'effet causal des achats-ventes $av_{t}$.

On a néanmoins $\tau_{E_{t}}=\tau_{E_{t-1}}+\frac{1}{E_{t}}[(\tau_{AV_{t}}-\tau_{E_{t-1}})AV_{t}+(\tau_{P_{t}}-\tau_{E_{t-1}})P_{t}]$

Selon plusieurs conditions sur les achats-ventes, dont $AV_{t}>0$ et $\tau_{AV_{t}}>\tau_{E_{t-1}}$, on voit que la proportion peut augmenter mais peut-on dire causalement alors que les achats-ventes de la sous-catégorie font augmenter la proportion en encours de la sous-catégorie ?

C'est curieux car si la proportion de la sous-catégorie dans les achats-ventes est supérieure à la proportion de la sous-catégorie dans l'encours à $t-1$, alors on a l'impression que cela fait augmenter la proportion en encours.

2) Deuxième méthode à laquelle j'ai pensé :
Si je souhaite connaître l'effet des achats-ventes, il faut que je raisonne toutes choses égales par ailleurs :
$\tau_{E_{t}}-\tau_{E_{t-1}}-(\tau_{E_{t}}-\tau_{E_{t-1}})_{|av_{t}=0}$=$\tau_{E_{t}}-(\tau_{E_{t}})_{|av_{t}=0}=\frac{e_t}{E_t}-\frac{e_t-av_{t}}{E_t-av_{t}}$
Selon cette méthode, j'ai calculé l'effet des achats-ventes et de l'effet-prix sur le pourcentage mais la somme des deux ne correspondait pas à la variation en pourcentage, probablement à cause d'effets combinés. Est-ce la raison ? Comment améliorer cette méthode ?

3) Troisième méthode à laquelle j'ai pensé :
$\frac{e_t}{E_t}=\frac{e_{t-1}}{E_t}+\frac{av_{t}}{E_t}+\frac{p_{t}}{E_t}$, sachant que $\frac{e_{t-1}}{E_t} \approx \frac{e_{t-1}}{E_{t-1}}$.
Cela revient à expliquer le nouveau pourcentage par le montant qui vient d'avant et les montants qui viennent d'après.

4) Quatrième méthode : essayer de modéliser linéairement la proportion comme espérance d'une indicatrice. Mais le problème n'a pas l'air très linéaire.

En conclusion je ne sais pas résoudre ce problème. Comment le traiter proprement ? Connaissez-vous un ouvrage où il est traité proprement ?
Je vous remercie par avance.
Pi

LEG

Peut être avec un graphique ...

gerard0

Bonjour.
Difficile d'expliquer une variation relative de valeurs composites. Puisque justement, on ne peut pas séparer ce qui est dû à l'un de ce qui est dû à l'autre. Dans ces cas, "expliquer" revient à détailler ce qui s'est passé, sans globaliser.

Tu t'es lancé dans des calculs qui ne peuvent aboutir.
Cordialement.

lourrran

Pour te montrer la complexité de la chose, imaginons ces quelques chiffres.

Le magasin A vend des articles X (total des ventes=1000€) et des articles Y ( 3000€ )
Les concurrents vendent aussi des articles X (total =9000€) et des articles Y (total=17000€)
L'année suivante on refait les mêmes mesures :
magasin A , articles X : 1100€   articles Y : 2400€
Concurrents : Articles X : 9500€ , articles Y :13500€

Le magasin A a une meilleure évolution que la concurrence sur le produit X, idem sur le produit Y, mais il a une moins bonne évolution sur le cumul X+Y.
Je te laisse faire les calculs pour vérification.

Décomposer des Euros, comme somme d'euros, ça marche. Décomposer des 'variations comme sommes de variations, c'est très problématique.

pi_vert_ou_pi_zza

Merci à tous de vos réponses. J'ai trouvé une façon intuitive d'expliquer les pourcentages en faisant des ratios des taux de croissance de la sous-catégorie et du total.

$\tau_{E_{t-1}}=\dfrac{e_{t-1}}{E_{t-1}}$

$\tau_{total}=\dfrac{E_t}{E_{t-1}}-1=\dfrac{AV_{t}+P_{t}}{E_{t-1}}$

$\tau_{sous-catégorie}=\dfrac{e_t}{e_{t-1}}-1=\dfrac{av_{t}+p_{t}}{e_{t-1}}$

$ \tau_{E_{t-1}} \times \dfrac{1+\tau_{sous-catégorie}}{1+\tau_{total}} = \dfrac{e_{t-1}}{E_{t-1}} \times \dfrac{e_{t}}{e_{t-1}} \times \dfrac{E_{t-1}}{E_{t}} $

$ \tau_{E_{t-1}} \times \dfrac{1+\tau_{sous-catégorie}}{1+\tau_{total}} = \dfrac{e_{t}}{E_{t}} = \tau_{E_{t}} $

$ \tau_{E_{t}} = \tau_{E_{t-1}} \times \dfrac{1+\tau_{sous-catégorie}}{1+\tau_{total}} = \tau_{E_{t-1}} \times (\dfrac{1}{1+\tau_{total}}+\dfrac{\tfrac{av_{t}}{e_{t-1}}}{1+\tau_{total}}+\dfrac{\tfrac{p_{t}}{e_{t-1}}}{1+\tau_{total}})$.

Encore merci.