Algèbre des dérivations

Amédé

Bonjour,
j'ai une algèbre de Lie $\frak{g}$, $\frak{h}\subset \frak{g}$ de dimension finie diagonalisable. On suppose $\mathfrak{g}=\bigoplus\limits_{\alpha\in Q}{\frak{g}_{\alpha}}$ la décomposition en espace de racines. On veut montrer que $Der(\mathfrak{g})=(Der(\mathfrak{g}))_{0}+ad(\mathfrak{g})$, où $(Der(\mathfrak{g}))_0$ est l'ensemble des endomorphismes qui préservent la décomposition.

Du coup je considère $Der(\mathfrak{g})/(ad(\mathfrak{g})$. Il existe un $h\in\mathfrak{h}$ tel que pour tout $\alpha\not=0$, $\alpha(h)\not=0$. J'ai réussi a montrer qu'il existe une dérivation $d$ tel que $d(h)\in\mathfrak{h}$. On déduit que pour tout $h'\in\mathfrak{h}, d(h')\in\mathfrak{h}$ et donc $d(\mathfrak{h})\subset \mathfrak{h}$. Comment montrer que $d(\mathfrak{g}_\alpha)\subset\mathfrak{g}_\alpha$ ?