Pseudo-inverse
Bonjour à tous,
On définit par pseudo inverse de $f$ l'application $g$ telle que $f\circ g \circ g = f$ et $g \circ f \circ g = g$.
Ce pseudo-inverse donne une solution approchée de $f(x) = b$, au sens des moindre carrés, $g(b)$ - à défaut de pouvoir donner $f^{-1}(b)$.
Mon problème est que des documents que j'ai pu lire sur la notion de pseudo-inverse, aucun ne fait le lien entre la définition ci-dessus et son utilisation dans la résolution d'équation au sens des moindres carrés. D'où ma question : pourquoi la définition ci-dessous permet de dire que $g(b)$ est une solution approchée de l'équation $f(x) = b$ ?
En vous remerciant d'avance.
On définit par pseudo inverse de $f$ l'application $g$ telle que $f\circ g \circ g = f$ et $g \circ f \circ g = g$.
Ce pseudo-inverse donne une solution approchée de $f(x) = b$, au sens des moindre carrés, $g(b)$ - à défaut de pouvoir donner $f^{-1}(b)$.
Mon problème est que des documents que j'ai pu lire sur la notion de pseudo-inverse, aucun ne fait le lien entre la définition ci-dessus et son utilisation dans la résolution d'équation au sens des moindres carrés. D'où ma question : pourquoi la définition ci-dessous permet de dire que $g(b)$ est une solution approchée de l'équation $f(x) = b$ ?
En vous remerciant d'avance.
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Réponses
Celle de Lars m'a particulièrement aidée. Mais cela m'amène à une autre question : étant donné que j'ai rencontré la notion de pseudo-inverse dans un exercice où n'était défini sur l'espace de départ $E$ aucun produit scalaire / norme, quel sens / signification peut-on donner au pseudo-inverse dans ce cas ? (ou est-ce juste un exercice permettant de voir qu'à partir d'hypothèses plus faibles on peut démontrer certaines propriétés de la pseudo-inverse).