Théorèmes de Chen et de Zhang

Sylvain

Bonjour,

Le théorème de Chen affirme que tout entier pair assez grand est soit la somme de deux nombres premiers soit celle d'un nombre premier et du produit de deux nombres premiers. Appelons donc décomposition de Goldbach-Chen de $2n$ une décomposition de $2n$ de l'un de ces deux types, décomposition de Goldbach de $2n$ une décomposition de $2n$ du premier type et décomposition de Chen de $2n$ une décomposition de $2n$ du second type. L'existence d'une infinité de $n$ tels que toute décomposition de Goldbach-Chen de $2n$ en est une décomposition de Chen contredirait-elle le théorème de Zhang de 2013 ?

Merci.

Sylvain

Plus précisément impliquerait-ce que tout écart entre premiers consécutifs présent une infinité de fois dans la suite des entiers est au moins égal à une constante $C$ supérieure à ce que prévoit la conjecture des nombres premiers jumeaux ou de façon moins ambitieuse celle d'Elliott-Halberstam ?

LEG

Est-ce que l'existence d'une infinité de $n+1$ telle que toutes décompositions de (Lemoine - Lévy) vérifiant  $2p + q = 2n+1$ contredirait ce théorème de Zhang 2013...?
Les trois décompositions de $2n$ ou $2n+1$ sont équivalentes et il n'a jamais été supposé que cela pourrait infirmer ce théorème de Zhang...

1) Pour une décomposition de $2n = p+q$ où $p\not\equiv{2n}[P]$ avec $P\leqslant\sqrt{2n}$ , tu as bien $2n - p = q$ premier .
donc le même algorithme en modifiant 3 paramètres te donnera :
 
2)  Une décomposition de $2n = p+q^2$ puisque par supposition  si $p\not\equiv{2n}[P]$  tu as tes deux nombres premiers $p\; et \; q$ , d'où il existera $2n' = P+q^2$ avec $2n < 2n'$ ; mais une même quantité...
Par conséquent, l'algorithme te donnera en gros le même nombre de premiers $p\not\equiv{2n}[P]$ vérifiant $2n - p = q$ d'où ensuite tu as bien $p + q^2 = 2n'$.
Quel raison, te donnerai l'infirmation du théorème de Zhang ... ?

3) Ce même algorithme , en modifiant 3 paramètres te donne aussi le nombre de solutions vérifiant la conjecture de (Lemoine - Lévy) , puisque  :
  a) si $p\not\equiv{2n}[P]$, tu as bien les nombres premiers $p < n$ qui sont non congrus à 2n modulo P, qui te donne bien les nombres premiers $q < 2n$. , tel que $2n - p = q$
donc:
   b) il suffit de faire $p + 2q = 2n+1$ vérifiant la conjecture de (Lemoine - Lévy) !
    en gros la même quantité que pour la conjecture de Goldbach , c'est un simple corollaire .
    En quoi cela infirmerait aussi le théorème de Zhang ...?