Loi limite sur [0,1]

P.2

Le conférencier d'hier avait besoin de la loi de $X_n$ de probabilité suivante sur les entiers $\{1,2,\ldots,n-1\}$

$$\Pr(X_n=k)= C_n(a,b)k^a(n-k)^b$$, où $a$ et $b$ sont des réels fixes, et où le nombre $C_n(a,b)$  est tel que $\sum_{k=1}^{n-1} \Pr(X_n=k)=1.$ Question, quelle est la limite de la loi de $ X_n/n\ ?$

Foys

Si $f$ est une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$, Soit $R_n(f) = \frac 1 n \sum_{k=1}^{n-1} f\left (\frac k n \right ) \times \frac{k^a (n-k)^b}{n^{a+b}}$. Alors $R_n(f)$ converge vers $\int_0^1 f(x) x^a (1-x)^b dx$ (Somme de Riemann). De plus $E(f(X_n)) = n^{a+b} C_n (a,b) R_n(f)$ et $R_n(\mathbf 1_{[0,1]})$ tend vers $\int_0^1 x^a(1-x)^b dx $ quand $n\to +\infty$ (et $E(\mathbf 1_{[0,1]} (X_n)) = 1$ pour tout $n$). Donc en fait $C_n(a,b) n^{a+b}$ tend vers $C(a,b):= \left ( \int_0^1 x^a(1-x)^b dx \right ) ^{-1}$ et $X_n$ converge en loi vers une loi de densité $x \mapsto C(a,b) \times x^a (1-x)^b$.

P.2

Merci Foys de cette réponse rapide, bien prévisible et bien claire. Reste à traiter les cas $-1<a,b<0$ et les cas où $a\leq -1$  et $b>-1$, ou le cas symétrique ou le cas $a,b\leq -1.$

NB : pour ceux qui nous lisent, ton $X_n$ est égal à mon $X_n/n.$

P.2

Voyons, la moderation, pourquoi changez vous le titre ? La loi limite vit sur [0,1]...

[OK, tu avais écrit le couple (0,1) ! À la lecture tu parles de la loi de $X_n$ sur {1,2,...,n-1}. D'où le changement du titre. AD]

P.2

Sans rire, je ne connais pas la solution si $a=-1-\alpha, b=-1-\beta<-1.$ On peut penser que la loi limite de $X_n/n$ est une Bernoulli, c'est-à-dire de la forme $q\delta_0+p\delta_1$ ou $p=1-q$ est une fonction inconnue de $\alpha$ et $\beta$. Une méthode d'attaque est de fixer $x\in\,]0,1[$ et de considérer $$c_n(x)=\sum_{k=1}^{[nx]-1}\frac{1}{k^{1+\alpha}}\times \frac{1}{(n-k)^{1+\beta}}$$ et de montrer que $$\Pr(\frac{X_n}{n}<x)=\frac{c_n(x)}{c_n(1)}$$ possède une limite $q$, à déterminer,  indépendante de $x.$ Mais après tout cela peut-être peut être très simple, avec $q=1 $ si $\alpha>\beta$ $q=1/2$ si égalité et $q=0$ sinon.

(Cher Alain, crois-tu nécessaire de corriger en ajoutant un trait d'union à peut être ?)

[Cher Gérard, "peut être" est une forme verbale, "peut-être" est un adverbe.
Tous deux ont des sens différents qu'il est bon de différencier pour faciliter la compréhension du message.
Enfin, l'excuse du clavier qwerty n'existe pas pour justifier cette erreur  le manque de trait d'union. AD]

Mais, mais, c'est la forme verbale, lis bien. P.2

[Ah, en effet, j'ai lu trop précipitamment. Mille excuses, il y a trop de messages à lire en ce moment ! AD]

Foys

Pour le cas où $a\leq -1$ et $b> -1$, on peut considérer pour tout $\varepsilon>0$ une fonction continue $f$ de $[0,1]$ dans lui-même, nulle sur $[0,\varepsilon]$ et constante égale à $1$ sur $[2\varepsilon, 1]$. Si on montre que $E(f(X_n / n))$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini (cette quantité se manipule à nouveau avec des sommes de Riemann: $x\mapsto x^a(1-x)^b f(x)$ ne posant plus de problèmes en 0; pour 1, on peut utiliser le théorème de convergence dominée).

Pour le cas où $a\leq -1$ et $b \leq -1$, on peut envisager une fonction continue $g: [0,1] \to [0,1]$ nulle sur $[0,\varepsilon] \cup [1- \varepsilon, 1]$ et valant $1$ sur $[2\varepsilon, 1-2\varepsilon]$ et utiliser un argument similaire pour montrer que la loi limite est à support dans $\{0,1\}$.