Trois suites
Bonsoir
On pose $u_0=v_0=w_0=0$.
Pour $n>0$, $u_n$ est le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
$v_n=u_n+2n$ et $w_n $ est le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
On a donc $u_1=1$ , $v_1=3$ et $w_1=2$.
Ensuite $u_2=4$ , $v_2=8$ et $w_2=5$, . . .
J'ai trouvé une formule simple pour $u_n$ (et aussi pour $v_n$ et $w_n$).
Je ne sais pas le prouver. Avez vous des idées ?
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Réponses
(si la formule c’est plus deux ou plus 3 une fois sur deux ça ne marche pas pour 16 19 22)
Moi je trouve : $v_1 = 3$
$v_{n+1} = \left\{\begin{align} & v_{n} + 5\quad\textrm{si n impair ou n $\equiv 0\bmod 8$}\\ &v_{n} + 4\quad\textrm{sinon}\end{align}\right.$
Pour $u_n$ et $w_n$ je pense a la fonction caractéristique....?
Je désigne par M la phrase : le plus petit élément de $\N^*$ non encore utilisé.
1) Avec une seule suite : $u_n=M$; on trouve $u_n=n$
2) Avec deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+n$; on trouve les suites de Beatty pour $\varphi$
3) Avec deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+2n$; on trouve les suites de Beatty pour racine de deux.
4) Mes suites sont : $u_n=M$ , $v_n=u_n+2n$ et $w_n=M$.
En indexant au départ :
$u_0 = -1 ; u_1 = 1 $ ; puis calculer ... : 4 , 6 , 9 , 11, 14, 16, 19 , 22, 24,27,29, 32, 34 ,37 ,39 , 42, 45 ,47 , 50 ...etc .
$U_{n+1} = 2*U_n - U_{n-1} +1$ ; puis pour $U_{n+2}$ on alterne avec $- 1$ ; puis $+1$ ; puis $-1$ ...etc ; jusqu'à la neuvième opération où là, on n'ajoute et on ne retire rien.
Ce qui donne à partir de $U_2$ :
4 , 6 , 9 , 11, 14, 16, 19 , 22, 24,27,29, 32, 34 ,37 ,39 , 42, 45 ,47 , 50 , 52, 55, 57, 60, 62, 65, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 83, 85, 88, 91, 93, ... etc.
Pas du tout $U_{n+1} = 2U_n - U_{n-1} - 1\;ou\; +1$
pour $U_0 = -1$ ; $U_1=1 $ et
$U_{n+1}=2U_n - U{n-1}+1=4$ non ?
$U_{n+2} = 2U_{n-1} - U_n -1 = 6$ non ? ...etc
Lorsque tu arrives à la $9^{ème}$ itération $U_{n+7} = 2U_n - U_{n-1}=22$
Ce qui correspond bien au tableau mis en premier #post du sujet ...
sauf si il y a une autre formule mais qui n'est pas indiquée par l'auteur du sujet...
J'ai regardé jusqu'à n = 73, mais effectivement ce n'est peut être pas la formule du sujet... puisqu'elle n'est pas indiquée ni la suite $U_n$, jusqu'à $n =100$ par exemple. Mais à priori, tu n'en sais pas plus....d'après ce que tu dis .
Si tu veux tester tes conjectures voici les 500 premières valeurs de la suite $u_n$ :
[1, 1], [2, 4], [3, 6], [4, 9], [5, 11], [6, 14], [7, 16], [8, 19], [9, 22], [10, 24], [11, 27], [12, 29], [13, 32], [14, 34], [15, 37], [16, 39], [17, 42], [18, 45], [19, 47], [20, 50], [21, 52], [22, 55], [23, 57], [24, 60], [25, 63], [26, 65], [27, 68], [28, 70], [29, 73], [30, 75], [31, 78], [32, 80], [33, 83], [34, 86], [35, 88], [36, 91], [37, 93], [38, 96], [39, 98], [40, 101], [41, 104], [42, 106], [43, 109], [44, 111], [45, 114], [46, 116], [47, 119], [48, 121], [49, 124], [50, 127], [51, 129], [52, 132], [53, 134], [54, 137], [55, 139], [56, 142], [57, 145], [58, 147], [59, 150], [60, 152], [61, 155], [62, 157], [63, 160], [64, 162], [65, 165], [66, 168], [67, 170], [68, 173], [69, 175], [70, 178], [71, 180], [72, 183], [73, 185], [74, 188], [75, 191], [76, 193], [77, 196], [78, 198], [79, 201], [80, 203], [81, 206], [82, 209], [83, 211], [84, 214], [85, 216], [86, 219], [87, 221], [88, 224], [89, 226], [90, 229], [91, 232], [92, 234], [93, 237], [94, 239], [95, 242], [96, 244], [97, 247], [98, 250], [99, 252], [100, 255], [101, 257], [102, 260], [103, 262], [104, 265], [105, 267], [106, 270], [107, 273], [108, 275], [109, 278], [110, 280], [111, 283], [112, 285], [113, 288], [114, 291], [115, 293], [116, 296], [117, 298], [118, 301], [119, 303], [120, 306], [121, 308], [122, 311], [123, 314], [124, 316], [125, 319], [126, 321], [127, 324], [128, 326], [129, 329], [130, 332], [131, 334], [132, 337], [133, 339], [134, 342], [135, 344], [136, 347], [137, 349], [138, 352], [139, 355], [140, 357], [141, 360], [142, 362], [143, 365], [144, 367], [145, 370], [146, 372], [147, 375], [148, 378], [149, 380], [150, 383], [151, 385], [152, 388], [153, 390], [154, 393], [155, 396], [156, 398], [157, 401], [158, 403], [159, 406], [160, 408], [161, 411], [162, 413], [163, 416], [164, 419], [165, 421], [166, 424], [167, 426], [168, 429], [169, 431], [170, 434], [171, 437], [172, 439], [173, 442], [174, 444], [175, 447], [176, 449], [177, 452], [178, 454], [179, 457], [180, 460], [181, 462], [182, 465], [183, 467], [184, 470], [185, 472], [186, 475], [187, 478], [188, 480], [189, 483], [190, 485], [191, 488], [192, 490], [193, 493], [194, 495], [195, 498], [196, 501], [197, 503], [198, 506], [199, 508], [200, 511], [201, 513], [202, 516], [203, 518], [204, 521], [205, 524], [206, 526], [207, 529], [208, 531], [209, 534], [210, 536], [211, 539], [212, 542], [213, 544], [214, 547], [215, 549], [216, 552], [217, 554], [218, 557], [219, 559], [220, 562], [221, 565], [222, 567], [223, 570], [224, 572], [225, 575], [226, 577], [227, 580], [228, 583], [229, 585], [230, 588], [231, 590], [232, 593], [233, 595], [234, 598], [235, 600], [236, 603], [237, 606], [238, 608], [239, 611], [240, 613], [241, 616], [242, 618], [243, 621], [244, 624], [245, 626], [246, 629], [247, 631], [248, 634], [249, 636], [250, 639], [251, 641], [252, 644], [253, 647], [254, 649], [255, 652], [256, 654], [257, 657], [258, 659], [259, 662], [260, 665], [261, 667], [262, 670], [263, 672], [264, 675], [265, 677], [266, 680], [267, 682], [268, 685], [269, 688], [270, 690], [271, 693], [272, 695], [273, 698], [274, 700], [275, 703], [276, 705], [277, 708], [278, 711], [279, 713], [280, 716], [281, 718], [282, 721], [283, 723], [284, 726], [285, 729], [286, 731], [287, 734], [288, 736], [289, 739], [290, 741], [291, 744], [292, 746], [293, 749], [294, 752], [295, 754], [296, 757], [297, 759], [298, 762], [299, 764], [300, 767], [301, 770], [302, 772], [303, 775], [304, 777], [305, 780], [306, 782], [307, 785], [308, 787], [309, 790], [310, 793], [311, 795], [312, 798], [313, 800], [314, 803], [315, 805], [316, 808], [317, 811], [318, 813], [319, 816], [320, 818], [321, 821], [322, 823], [323, 826], [324, 828], [325, 831], [326, 834], [327, 836], [328, 839], [329, 841], [330, 844], [331, 846], [332, 849], [333, 851], [334, 854], [335, 857], [336, 859], [337, 862], [338, 864], [339, 867], [340, 869], [341, 872], [342, 875], [343, 877], [344, 880], [345, 882], [346, 885], [347, 887], [348, 890], [349, 892], [350, 895], [351, 898], [352, 900], [353, 903], [354, 905], [355, 908], [356, 910], [357, 913], [358, 916], [359, 918], [360, 921], [361, 923], [362, 926], [363, 928], [364, 931], [365, 933], [366, 936], [367, 939], [368, 941], [369, 944], [370, 946], [371, 949], [372, 951], [373, 954], [374, 957], [375, 959], [376, 962], [377, 964], [378, 967], [379, 969], [380, 972], [381, 974], [382, 977], [383, 980], [384, 982], [385, 985], [386, 987], [387, 990], [388, 992], [389, 995], [390, 998], [391, 1000], [392, 1003], [393, 1005], [394, 1008], [395, 1010], [396, 1013], [397, 1015], [398, 1018], [399, 1021], [400, 1023], [401, 1026], [402, 1028], [403, 1031], [404, 1033], [405, 1036], [406, 1038], [407, 1041], [408, 1044], [409, 1046], [410, 1049], [411, 1051], [412, 1054], [413, 1056], [414, 1059], [415, 1062], [416, 1064], [417, 1067], [418, 1069], [419, 1072], [420, 1074], [421, 1077], [422, 1079], [423, 1082], [424, 1085], [425, 1087], [426, 1090], [427, 1092], [428, 1095], [429, 1097], [430, 1100], [431, 1103], [432, 1105], [433, 1108], [434, 1110], [435, 1113], [436, 1115], [437, 1118], [438, 1120], [439, 1123], [440, 1126], [441, 1128], [442, 1131], [443, 1133], [444, 1136], [445, 1138], [446, 1141], [447, 1144], [448, 1146], [449, 1149], [450, 1151], [451, 1154], [452, 1156], [453, 1159], [454, 1161], [455, 1164], [456, 1167], [457, 1169], [458, 1172], [459, 1174], [460, 1177], [461, 1179], [462, 1182], [463, 1184], [464, 1187], [465, 1190], [466, 1192], [467, 1195], [468, 1197], [469, 1200], [470, 1202], [471, 1205], [472, 1208], [473, 1210], [474, 1213], [475, 1215], [476, 1218], [477, 1220], [478, 1223], [479, 1225], [480, 1228], [481, 1231], [482, 1233], [483, 1236], [484, 1238], [485, 1241], [486, 1243], [487, 1246], [488, 1249], [489, 1251], [490, 1254], [491, 1256], [492, 1259], [493, 1261], [494, 1264], [495, 1266], [496, 1269], [497, 1272], [498, 1274], [499, 1277], [500, 1279]
u_{n+1}-u_{n}=3&\Leftrightarrow n\in\left\lfloor \frac{3+\sqrt{17}}{4}\mathbb{N}\right\rfloor \\
u_{n+1}-u_{n}=2&\Leftrightarrow n\in\left\lfloor \frac{5+\sqrt{17}}{4}\mathbb{N}\right\rfloor
\end{align*}
C'est pour ça que tu voulais d'abord que les amateurs s'y cassent les dent ...
2) une preuve de ces beaux résultats
3) une généralisation pour $u_n=M$; $v_n=u_n+kn$ et $w_n=M$.
L'entier $n$ se situe donc au rang numéro : $n+E(n/\beta)+E(n/\beta-0.5)$.
J'aurais besoin d"aide pour montrer que c'est aussi $E(n\alpha)+2n-1$
c'est-à-dire $v_n$.
---> Avant lui il y a $E(n\beta)$ entiers.
---> Avant lui il y a $n$ nombres du type $k\beta$
---> Avant lui il y a $n-1 $ nombres du type $(k+0.5)\beta$
Le nombre $n\beta$ a donc le rang $E(n\beta) +n+n-1$=$E(n\alpha)-1=u_n$
On voit facilement que le rang de $(n+0.5)\beta$ est donné par $w_n$
Les notations sont peut-être incorrectes mais vous pouvez en proposer d'autres.
1) $(M,k)$ est une abréviation pour les deux suites : $u_n=M$ et $v_n=u_n+kn$. On trouve $u_n=E(n\alpha)$, avec $\alpha$ solution positive de $x^2+(k-1)x-k=0$.
2) $(M,k,M)$ est une abréviation pour les trois suites : $u_n=M$ ; $v_n=u_n+kn$. et $w_n=M$. On trouve $u_n=E(n\alpha)-1$, avec $\alpha$ solution positive de $x^2+(k-3)x-2k=0$.
Si $k=1$, alors $\alpha=1+\sqrt3$
Si $k=2$, alors $\alpha=(1+\sqrt{17})/2$, c'est l'objet de ce fil.
Si $k=3$, alors $\alpha=\sqrt6$.
On le démontre en écrivant d'abord que si les deux suites $u'_n$ et $v'_n$ définies par les parties entières forment une partition de $\N^*$ alors cela entraine $\dfrac1{\alpha}+\dfrac1{\beta}=1$ d'où $\alpha^2+(k-2)\alpha=k$.
Ensuite on classe l'ensemble formé par les $n$ et les nombres $n(\alpha+k-1)$ ($n\in\N^*$) par ordre croissant : on trouve que $n$ est le $\lfloor n\alpha\rfloor=u'_n$-ème terme et que $n(\alpha+k-1)$ est le $\lfloor n(\alpha+k)\rfloor=v'_n$-ème terme. Cela entraine que les suites $u'_n$ et $v'_n$ forment une partition de $\N^*$, ce sont donc les suites $u_n$ et $v_n$.
Edit : on peut aussi classer les $n$ et les $n(\alpha-1)$ (voir le message qui suit).
On le démontre en écrivant d'abord que si les trois suites $u'_n$, $v'_n$ et $w'_n$ définies par les parties entières forment une partition de $\N^*$ alors cela entraine $\dfrac2{\alpha}+\dfrac1{\alpha+k}=1$ d'où $\alpha^2+(k-3)\alpha=2k$.
en utilisant le lemme : $\displaystyle\sum_{j=0}^{p-2}\left\lfloor x-\frac j{p-1}\right\rfloor=\lfloor (p-1)x\rfloor-(p-2)$.
Ce n'est pas moi qui mérite ce "Bravo", je n'ai fait que reprendre ta démonstration.
C'est Boécien qui a trouvé la bonne formule dans ton problème des trois suites et c'est toi qui en a trouvé la démonstration.