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Catégories et NBG...

Cette discussion a été créée à partir de réponses séparées de : Homo Topi face aux fondements des mathématiques et de la logique.

Réponses

  • Modifié (November 2022)
    Désolé de lancer une tangente, (aujourd'hui je suis très bavard).
    Pourquoi a-t-on créé NBG ? 
    Pourquoi certains croient-ils que la meilleure formalisation de la théorie des catégories est celle à base de NBG ?
  • @cohomologies je peux te donner une réponse personnelle : on peut se servir de la théorie des catégories de deux manières, de ce que j'en ai compris en tout cas. Soit tu considères que c'est une théorie "dans" les mathématiques, dans le sens où les objets de la théorie des catégories sont des ensembles ZFC ou des classes NBG ou autre chose de "déjà fondé", soit tu utilises carrément les catégories comme fondement des mathématiques, auquel cas tu dois définir en termes de ton objet de base "catégorie" ce que serait un "ensemble", avant de pouvoir parler d'ensembles. Pour ma part, je préfère la première version, mais si on préfère la première version, alors ZFC standard pose un petit problème. Si tu veux utiliser la théorie des catégories pour parler un jour d'un objet comme $\textbf{Grp}$, la "catégorie des groupes", alors cet objet doit exister dans ta théorie, oui ? Ben, dans ZFC standard, il n'existe pas d'ensemble de tous les groupes, donc $\textbf{Grp}$ n'existe juste pas. Dans NBG, c'est un objet qui existe, une classe propre. Il existe d'autres "extensions" de ZFC qui élargissent le sens de "ensemble" à quelque chose qui fait de $\textbf{Grp}$ un "ensemble" dans cette définition-là (grands cardinaux, il me semble), mais j'aime ça moins. Je préfère NBG où le sens du mot "ensemble" est celui que j'ai toujours connu, et où des objets concevables dans ZFC qui ne pouvaient pas être des objets de la théorie comme l'objet $\textbf{Grp}$ deviennent un objet descriptible de la théorie. Mais encore une fois, ça c'est ma vision des choses uniquement. Il y a des gens avec des réponses nettement plus théoriques qui contiennent plus de mots techniques et de symboles mathématiques, cf le lien de Thierry Poma.
  • Voilà un article que j'avais bien aimé, car assez objectif jeanyves.tex (emis.de)
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Homo Topi Attention à l'appellation "ZFC standard", qui pourrait faire penser à des modèles standards de ZFC, ce qui n'est pas ce que tu voulais dire... Les extensions de ZFC dont tu parles n'élargissent pas non plus le sens du mot ensemble. NBG manipule les classes propres mais ne les appelle pas "ensembles", et NBG ne rend certainement pas la catégorie des groupes "descriptible", c'est juste bien un objet de la théorie.
  • Peut-être que je ne m'exprime en effet pas assez précisément.
    - A mon sens, si tu prends ZFC et que tu rajoutes des axiomes qui disent "ceci peut exister et on appelle ça encore un ensemble", alors tu "élargis le sens du mot 'ensemble'", si c'est mal formulé alors d'accord mais je ne pense pas que c'est *faux* pour autant, si ?
    - Oui, NBG rajoute les classes propres et ne les appelle justement pas des ensembles, that's the point. J'ai dit "descriptible", dans le sens où, on peut dire ce que c'est (une classe propre) et manipuler ça avec le langage de la théorie, par exemple écrire des choses comme "$\forall G \in \text{Grp}...$". Peut-être que ce n'est pas grand-chose en soi mais pour mon utilisation du concept, c'est déjà un vrai intérêt en soi.
  • Pour ton premier point : ben oui, mais quelle extension de ZFC fait ça ? Pas NBG en tout cas. Dans tous les cas, ZFC n'a jamais prétendu définir ce qu'est un ensemble (c'est précisément ça qui fait qu'il peut se passer des dingueries d'un modèle à un autre), seulement ce que des choses qui mériteraient d'être appelés ensembles ont le droit de vérifier.
  • Quelle extension de ZFC fait ça, je ne sais plus, j'en avais parlé avec Maxtimax une fois mais ça date, je ne me souviens plus des détails. Il m'avait raconté qu'on peut construire une axiomatique dans laquelle il n'y a "que" des ensembles comme objets (au contraire de NBG où il y a deux types de classes, les ensembles et les classes propres), mais où il existe des ensembles qui n'existeraient pas dans ZFC (forcément, puisqu'on rajouterait des axiomes qui garantiraient l'existence et/ou la constructibilité de nouveaux bestiaux). On parlait de grands cardinaux aussi, ça a sûrement un rapport. Mais comme dit, je ne me souviens plus très bien, donc si tu as l'impression que je raconte n'importe quoi, alors c'est peut-être le cas.

    "ZFC n'a jamais prétendu définir ce qu'est un ensemble".
    Hm, curieux. Moi j'avais toujours compris ça comme ça : la TDE (axiomatisée par ZFC ou autre) définit exactement ce qu'est un ensemble ou non, les opérations qu'on a le droit de faire, et assure l'existence de certains ensembles. Ce que tu as dit me surprend, j'aimerais que tu développes ça un peu plus. Une question qui me viendrait, c'est : la théorie des groupes (par exemple), ne définit-elle pas exactement ce qu'est un groupe ? Je pense que ça peut être différent, parce que "définir ce qu'est un ensemble" c'est en gros définir le comportement du symbole $\in$, c'est fonder la "théorie de l'appartenance" (n'est-ce pas @cohomologies :D) alors que la théorie des groupes ne serait pas au "même niveau", si tu vois ce que je veux dire.
  • Merci pour vos réponses, je vais consulter tout cela.
  • Tu ne trouveras jamais nulle part écrit "un ensemble est défini par...". Ce n'est pas ce que dit ZFC. Les axiomes de ZFC, c'est de la syntaxe, des formules. Quand on veut leur donner du sens, on passe à la sémantique, et ce que ces axiomes disent, c'est que si $x$ est un "ensemble" et si $y$ est un "ensemble", alors il existe un "ensemble" $z$ (que l'on pourrait noter $\{x, y\}$) tel que pour tout "ensemble" $u$, $u \in z$ si et seulement si $u =x$ ou $u=y$, etc. Autrement dit, ils te disent ce que tu as le droit de faire avec des choses que l'on a envie d'appeler "ensembles" mais à aucun moment ils ne te les définissent, et cette absence de définition rend les modèles de ZFC très "flous".

    Par exemple, l'axiome de l'ensemble des parties te dit juste que la collection des ensembles inclus dans un ensemble $x$ donné forme un ensemble. Mais on ne sait pas a priori ce qui peut être un ensemble inclus dans $x$, et même si $x$ est défini de manière parfaitement absolue (par exemple $\mathbb N$) dans tout modèle de ZFC, l'ensemble de ses parties ne l'est pas, et en l'occurrence, sa cardinalité peut en général être à peu près n'importe quoi dès que $x$ est infini.
  • D'accord, la distinction entre syntaxe et sémantique devient plus claire (au final, ça se recoupe quand même avec les autres fils de discussion).

    Du coup, d'un point de vue purement syntaxique : partant d'une formule comme $\exists V \forall x \neg(x \in V)$, tu vas utiliser des règles syntaxiques du type "élimination d'un $\exists$" etc. pour construire des démonstrations syntaxiquement correctes qui utilisent cette formule. Les résultats "mathématiquement significatifs" dans la théorie des ensembles, après, c'est la sémantique de la théorie des ensembles qui détermine ça. Sémantique qui dit entre autres "si c'est à gauche ou à droite d'un $\in$, c'est un ensemble".
  • Les résultats significatifs, ça dépend du point de vue. Dans tous les cas, la syntaxe et la sémantique se rejoignent dans ces conditions, c'est le théorème de complétude de Gödel. Je t'invite à lire un cours de théorie des modèles pour bien aborder tout ça. Ou mieux, le livre de Patrick Dehornoy qui développe toutes ces choses et bien plus. o:)
  • Modifié (November 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Les modèles de la théorie des groupes sont des groupes, alors que les modèles de la théorie des ensembles sont des univers dont les éléments sont ce que nous aimons appeler "ensemble".
    Dans le même style que ce que j'ai dit pour la théorie des ensembles, je dirais que la théorie des groupes a pour objet la fonction produit de groupe et non le groupe (les groupes sont à la théorie des groupes ce que les univers sont à la théorie des ensembles).
    Édit. Si on veut dire que les groupes sont l'objet de la théorie des groupes alors on doit dire que les univers sont l'objet de la théorie des ensembles.
  • Ça correspond à ce que j'avais en tête. Encore ces histoires de modèles. Je lirai.
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