Triangles intriqués : intouch triangle et parallèle par un sommet

gipsyc

C'est en quelque sorte un complément simplifié voire un corollaire de mon dernier post, vraiment imbuvable.
Jean-Pol Coulon

gipsyc

Une erreur dans l'énoncé : pas de triangle orthique dans le schéma proposé.
Pour le point Ha comme orthocentre, je n'ai pas encore la réponse pour l'intersection du cercle inscrit avec la cévienne par le point de Nagel.

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
ce résultat me rappelle mon premier article publié en 2007 dans la revue belge....A propos du théorème de Boutin...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol1.html
puis

À propos du théorème de Boutin.

Sincèrement
Jean-Louis

gipsyc

Bonjour JL Ayme

Merci pour cette belle analogie.

J'ai entretemps trouvé une réponse - finalement élémentaire - à ma dernière question (une simple homothétie entre les tangentes de l'incercle et l'excercle), grâce au groupe de discussions Romantics of Geometry, Jean-Pol Coulon 

Rescassol

Bonjour,

Avec un tout petit coup de Morley inscrit:

a=2*v*w/(v+w); aB=2*vB*wB/(vB+wB);
na=2*(s2^2+s1*s3)/(s1*s2-s3); naB=2*(s2B^2+s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B);
Nul=Factor(det([a aB 1; na naB 1; -u -uB 1])) % Donc -u est sur (A Na).

[tab tabB]=IntersectionDeuxDroites(1,u*v,-u-v,uB,u,-uB*a-u*aB);
Nul=Factor(det([w wB 1; -u -uB 1; tab tabB 1])) % Donc w,-u,tab sont alignés

Cordialement,
Rescassol

gipsyc

Bonjour Recassol

Je ne comprends rien à ce mode Morley de résolution, mais merci pour la contribution.
J'ai modifie le titre : pas de triangle orthique dans mon schéma (2 pieds de hauteur Tb et Tc mais pas 3 dans le triangle supposé orthique du triangle TacTbcTa).
Les sommets de ce triangle ATbTc sont par contre sur le cercle dit de Euler à neufs points, le troisième point étant le pied d'und médiane.

Rescassol

Bonjour,

> Je ne comprends rien à ce mode Morley de résolution,

C'est de la géométrie analytique complexe.
$u,v,w$ sont les affixes complexes des points de contact $U,V,W$ du cercle inscrit avec les côtés du triangle $ABC$.
Ce cercle est choisi unitaire de telle sorte que $\dfrac{1}{u}=\overline{u}$, noté ici $uB\space$ ($B$ comme "barre", cad "conjugué").
L'affixe de $A$ est alors $a=\dfrac{2vw}{v+w}$, celle du point de Nagel $na=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}$, où $s_1,s_2,s_3$ sont les fonctions symétriques de $u,v,w$ cad $s_1=u+v+w,s_2=uv+vw+wu,s_3=uvw$.
Le reste me paraît assez clair, sinon, demande.

Cordialement,
Rescassol

gipsyc

Bonjour Rescassol
Merci pour ces explications.
Il va falloir que j'y consacre un prochain week-end.

En attendant, je poste un autre problème 😉
Belle fin de journée
Jean-Pol