Limite finie à l'infini
Bonsoir tout le monde, j'ai besoin d'aide! j'ai un problème dans la définition de la limite au voisinage de $+\infty$. Je suis vraiment perdu.
Parfois je trouve ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M \in \R,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Parfois ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M >0,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Parfois ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M \geq a ,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M \in \R,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Parfois ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M >0,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Parfois ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M \geq a ,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Je ne comprends pas la différence et quand utiliser $\exists M \in \R$ ou $\exists M >0$ ou $\exists M \geq a$ ?
Dans un exercice, on a une fonction définie sur $\R^+$, on a choisit $I= [a, +\infty[$ et on a utilisé la première définition $(\exists M \in \R)$ ?
Dans un exercice, on a une fonction définie sur $\R^+$, on a choisit $I= [a, +\infty[$ et on a utilisé la première définition $(\exists M \in \R)$ ?
Réponses
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Sauf erreur, les définitions sont équivalentesJe suis donc je pense
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Si M appartient à R, et est négatif alors il existe un M’ plus grand que zéro tel que ça marche toujours
est positif alors il est inclus dans la def de M plus grand que zéro
Si M est plus grand que zéro il est dans R
Donc ces deux là sont équivalent et c’est pareil pour la variante avec aJe suis donc je pense -
Quentino37 Je n'ai pas compris, si $M>0$ n'est pas la même chose que $M \in \R$.
-
Time
Si M est dans R alors il existe un M’ plus grand que zéro (peut être différent, plus grand mais il existe)
Si M est plus grand que zéro alors il est dans RDonc si tu as l’un tu as l’autre.[Inutile de reproduire le message précédent. AD]Je suis donc je pense -
Bonjour.
Les deux premières définitions sont équivalentes. La deuxième implique la première de façon évidente (un $M>0$ est un $M\in \mathbb R$). La première implique la deuxième car le $\forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$ permet de remplacer $M$ par un strictement positif, 1 par exemple si $M\le 0$. Une propriété vraie pour tout $x>M$ est à priori vraie pour tout $x>N>M$. Je te laisse rédiger une preuve formelle si tu en as besoin.La troisième "définition" n'a de sens que si $a$ est connu au préalable. Le raisonnement est le même que précédemment.L'intérêt de ces définitions alternatives est que finalement, la notion de limite en $+\infty$ est relative à "ce qui se passe au voisinage de $+\infty$", c'est à dire pour x suffisamment grand. D'ailleurs, il manque à ces trois définitions une condition sur $I$, qui est qu'il contient un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ ("f est définie au voisinage de $+\infty$"), car la limite de $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ au voisinage de $+\infty$ n'a pas de signification.Cordialement.
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Bonjour!
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