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Équivalent

Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonjour. Je bloque à obtenir sans les DL un équivalent en zéro de $x\mapsto \sin x-x$.
Pouvez-vous m'aider SVP ? Merci.

Réponses

  • On doit pouvoir montrer par une patiente étude de fonction que $\bigl|\sin x-x+\frac{x^3}6\bigr|\le\frac{|x|^5}{120}$.
  • Sinon, on peut intégrer plein de fois l'inégalité $\cos  \leq 1$ pour en déduire  $ \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}\leq x- \sin x\leq \frac{x^3}{6}$ pour tout $x$ positif.
  • OK, merci de ta réponse. Pas de moyen élémentaire donc à l'aide des équivalents usuels, c'est ce que je trouvais aussi.
  • Modifié (November 2022)
    Autrement avec une des règles préférée des analystes : La règle de l'Hôpital :mrgreen: , à appliquer trois fois à $\dfrac{\sin x - x}{x^3}$.
  • raoul-s t'a menti   :mrgreen: ; on applique la règle de l'Hôpital seulement deux fois et si tu connais l'équivalent de référence en 0 de cos x-1, tu l'appliques une fois 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    gebrane
    C’est so 1750 la règle de l’Hospital.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Vous ne me croyez pas ? c'est sérieux. Si on applique la règle  3 fois , on commet une faute (le diable se cache dans les détails)
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Quelle faute diabolique gebrane ? Je n'en vois aucune...
  • @raoul-s Si on dérive deux fois, on tombe sur $\frac {-1}6 \frac {\sin(x)}{x}$. Mais  tu ne peux pas appliquer la règle pour démontrer $\lim_{x\to 0}\frac {-1}6 \frac {\sin(x)}{x}=\frac {-1}6$ Le diable se cache dans les détails
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Et pourquoi ne pourrait-on pas ?
  • @JLapin je laisse raoul-s te répondre 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Non mais moi je démontre que $\sin$ est dérivable, de dérivée $\cos$ en utilisant un théorème bien connu sur les séries entières donc j'ai le droit d'utiliser la règle de l'Hopital :)
  • Tu m'as dit en MP que c'est parce que tu dois savoir dériver le sinus et pour démontrer que la dérivée du  sinus est bien un cosinus, on a besoin dans la démonstration de savoir à l'avance que la limite en 0 de sin x/x est 1.
    Le raisonnement est cyclique

    OK mais dans ce cas on ne peut même pas appliquer l'Hôpital une fois, car déjà pour la première fois on doit savoir dériver le sinus.
  • Modifié (November 2022)
    raoul, on peut pour la première fois car on a un preuve géométrique que le sinx / x tend vers 1 quand x tend vers 0 ( donc par de problème pour dériver un sinus ou un cosinus )
    @JLapin quand même, ici on parle d'un niveau basique sans dl, sans série. les prof au Lycée commettent cette faute 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Bon je crois que c'est moi qui vais aller à l'Hôpital... psychiatrique. Comment ça la première fois on peut et pas la deuxième ?

    Pour appliquer l'Hôpital la première fois tu as besoin de savoir que $\sin'(x)=\cos(x)$ non ?
  • Modifié (November 2022)
    On a une preuve géométrique pour la limite de sinx /x en 0, donc on sait dériver le sinus ou cosinus . Donc on  dérive une première fois et une deuxième fois  et on tombe sur la limite 1-/6 sin x / x  en 0 mais pourquoi dériver une troisième fois pour calculer cette limite puisque c'est déjà démontré  ( et sans utiliser la dérivée de sinus ou cosinus). Si tu dérives une troisième pour calculer cette limite, tu rends ton raisonnement cyclique . A toi de voir, je ne peux expliquer mieux  
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    gebrane
    C’est un peu tordu mais ça se tient.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Oui effectivement je vois. Bon je dois dire qu'au début, lorsque j'ai proposé l'Hôpital, je partais du principe qu'on avait déjà la dérivée à disposition, mais tu es plus diabolique que moi gebrane...
  • Modifié (November 2022)
    Anectode, Au Lycée ( je me rappelle bien) le prof a demandé de calculer $i^2+1$, normalement il fallait répondre $i^2+1=-1+1=0$, mais j'ai répondu : $i$ est une des racines de l'équation $x^2+1=0$ . Donc, $i^2+1=0$.  Il a faillit arracher ses cheveux (disons j'étais parmi ces étudiants brillants). J'avais raisonné comme suit  $\Delta= 0^2-4=-4<0$ donc une des racines est $\frac{0+2i}2=i$, donc $i^2+1=0$.
    Question, est-ce  que mon raisonnement était circulaire :smile:
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Et bien pour montrer que i est racine de x^2+1... Tu n'a pas utilisé i^2+1=0 Donc il n'est pas vraiment circulaire meme si pas très optimal 
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Modifié (November 2022)
    Gebrane,
    ton raisonnement était circulaire. Comment étais-tu passé de $\Delta = -4$ à la valeur de la racine ? (sans savoir que $i^2=-1$ c'est à dire que $i^2+1=0$ ?)
    Cordialement.
  • Pour le moment 1 contre 1, Q37 vs Gerard0
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Je dis comme gerard0 : circulaire.
  • Pour créer un équilibre je dis comme Q37, c'est mon champion. Normalement le $i$ en Lycée est définie comme un être mathématique vérifiant la propriété $i^2=-1$.

    Moi, au lieu d'avoir utilisé le raisonnement si $i^2=-1$ alors $i^2+1=+1-1=0$, j'avais utilisé  un raisonnement détourné que j'ai expliqué en haut bien sûr en utilisant la définition de $i$, donc ce n'est pas circulaire comme raisonnement !
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Pourtant dire que $i^2=-1$ n'est-ce pas dire que $i$ est la solution d'une équation ? Qui est justement celle dont on parle ... Il est vrai qu'un lycéen ne voit pas toujours que c'est la même équation.
    C'est déjà une façon ultra-compliquée de traiter un problème immédiat. C'est bien du Gebrane !
    Mais plus grave, le point de départ ("$i$ est une des racines de l'équation $x^2+1=0$" est simplement l'utilisation de la conclusion dite autrement !! Donc erreur grave de logique !
    Cordialement.
  • Je ne dirais pas circulaire. 
    On a une définition de $i$.
    On a un théorème de résolution des équations du second degré. 
    Utiliser la définition pour former une équation puis appliquer le théorème pour résoudre cette équation ne pose pas de problème de circularité. Ça pose un problème de « faire compliqué quand on peut faire simple » et peut-être aussi  « prendre un marteau pour écraser une mouche ». 
  • On est 3 contre deux 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Hum donc tu dis que ce n'est pas circulaire car tu as utilisé $i^2=-1$ au lieu de $i^2+1=0$ pour calculer $\sqrt{-4}$... Bof bof.
  • Modifié (November 2022)
    Bah, j'avais un esprit tordu
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    C’était plutôt du pur génie !
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
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