Homo Topi face aux fondements des mathématiques et de la logique

Homo Topi

Ce n'est pas parce que "tu l'as dit" que ça doit me paraitre cohérent comme définition. Et j'ai exposé pourquoi ça ne me parait pas cohérent comme définition.

Certes $\{i^2=-1, (\Z/3\Z,+,\times)$ est un anneau, $\ln$ est uniformément continue sur $\R_+^*\}$ est un ensemble d'énoncés, mais que vas-tu en faire ?

[Utilisateur supprimé]

@Homo Topi je t'assure que tu es très énervant, tu viens dans un domaine où tu ne connais rien et tu veux changer son vocabulaire et par la même occasion tu émets des jugement sur des choses dont tu ne sais rien du tout.

Homo Topi

Rien ne t'oblige à répondre à mes questions dans mon fil.

Si tu n'aimes pas que je ne sois pas convaincu par ce que tu racontes, tu peux essayer d'être plus convaincant. Moi, je me base sur des choses comme ceci, qui m'ont l'air plus utilisables comme concept que le tien. Tu es un nom anonyme sur internet, pourquoi devrais-je "oui chef" dès que tu dis quelque chose ? On a parfaitement le droit de ne pas être d'accord avec toi, si ça te dérange alors le problème vient de toi.

Ah, tiens, quand on creuse un peu plus, on tombe sur ceci : il semblerait donc que le sens du mot "théorie", ben, ça dépend. Certains utilisent ta définition, d'autres utilisent la mienne. Donc ton attitude de "j'ai raison et vous avez tort" est moins justifiée que la mienne.

[Utilisateur supprimé]

Wikipedia n'est pas toujours ton ami. La première définition que tu cites semble avoir été écrite par un non spécialiste. Il me semble que tu as un niveau amplement suffisant en mathématiques pour aller lire des livres dans les domaines qui t'intéressent, je te conjure de lire des livres de logique plutôt que wikipédia.

Médiat_Suprème

Dans l'article "Théorie axiomatique" la différence entre les deux définitions n'est pas pertinente, on passe de l'une à l'autre très facilement, et dans une démonstration, (logique) on choisit la forme qui convient le mieux à sa démonstration.

Heureusement que l'on peut exprimer une théorie par un jeu d'énoncés bien choisi, parce que s'il fallait citer entièrement la clôture déductive, il faudrait connaître tous les théorèmes de cette théorie, ce qui serait très long, même pour les théories très simples, et impossible pour beaucoup

Homo Topi

Un truc intéressant à noter est que le deuxième lien que j'ai donné montre bien qu'il existe deux définitions "utilisées", qui ne sont effectivement pas les mêmes. Sur ça, on est clairement d'accord. Il faut en choisir une, sans quoi un débat ne peut mener à rien.

Le truc avec ce constat, c'est, quelle définition choisir dans le contexte de ce fil ? Visiblement, il n'y a pas consensus et il y a des arguments pour l'une et l'autre définition. Pour moi, la définition que je préfère, je la préfère parce qu'elle est plus utile en général (selon moi, bien sûr).

Le deuxième lien que j'ai donné dit la chose suivante :

- Soit tu considères qu'une théorie est l'ensemble des résultats admis ou démontrés comme vrais. Si tu fais ça, tu es obligé de te donner une sémantique pour être cohérent, chose que le logicien pur (je te donne cette casquette, si tu veux bien) aime moins. Bon, au pire, tu remplaces ça par l'ensemble des résultats syntaxiquement valides, j'ai l'impression que c'est la même chose sauf sans sémantique.

- Soit tu considères qu'une théorie se ramène à la liste de ses axiomes. Ou a une liste quelconque d'énoncés, peu importe si tu en considères certains comme des axiomes et d'autres comme des théorèmes (déduits des axiomes), ou si tu les considères tous comme étant la même chose et que tu appelles chaque élément de ta théorie "théorème" ou simplement "énoncé". Enfin bref ici l'aspect c'est "liste quelconque".

Visiblement, tu es plus dans l'optique "liste quelconque". Au sens de "la science d'étudier logiquement les théories logiques", je te concède volontiers qu'on n'a besoin de rien d'autre que ça pour étudier un objet qu'on appellerait "théorie".

Je préfère clairement l'autre aspect en général. Une théorie c'est l'étude d'un objet, on se donne une sémantique (sauf si on veut laisser l'étude de l'objet à une IA qui n'en a pas besoin car elle fait tout de manière syntaxique), les énoncés ont des statuts "clairement différents" (axiomes/théorèmes). Je pense qu'il est absurde de vouloir interdire cette utilisation du mot "théorie", puisque tout le monde s'en sert (théorie des groupes, théorie de l'évolution, théorie néolibérale de l'économie...) sinon tous les bouquins "théorie des groupes" etc. doivent être renommés.

Moi, je ne me plaçais pas exclusivement dans le cadre "la science d'étudier logiquement les théories logiques" à chaque fois que je disais "théorie", alors que toi visiblement si. Si tu ne veux pas sortir de ce cadre, dans ce fil de discussion, on peut se mettre d'accord sur ça. Aucun problème. Mais que tu me dises que je ne "comprends rien à ce que je raconte", non seulement ça a l'air d'être faux dans l'absolu et je doute que l'intégralité du forum te soutiendra sur une affirmation pareille, mais je pense avoir suffisamment justifié pourquoi j'ai des raisons valables d'en avoir été offensé.

PS tu remarqueras que contrairement à l'autre fil, où je viens de sortir un peu les dents, quand je ne me sens pas offensé, je discute calmement et sans envenimer les choses.

Médiat_Suprème

@Homo Topi   Soit tu considères qu'une théorie est l'ensemble des résultats admis ou démontrés comme vrais. Si tu fais ça, tu es obligé de te donner une sémantique pour être cohérent.

Vous pourriez justifier cette affirmation ? (j'ai mis en gras les mots qui me posent problème). "comme vrais" ne sert qu'à créer un pléonasme

Homo Topi

@Médiat_Suprème maudit sois-tu tu mets l'accent sur un truc que j'ai fait exprès de contourner dans mon message précédent.

Je disais donc que j'ai trouvé deux définitions possibles au mot "théorie". Tu me donnes le vocable "clôture déductive" que je ne connaissais pas. On est bien d'accord que, puisque la théorie des ensembles (par exemple) peut se déduire de ses axiomes, on peut résumer la TDE à sa liste d'axiomes (par exemple la liste ZFC). Dans cette optique-là, considérer la liste d'axiomes est plus économique que de considérer la clôture déductive de cette liste d'axiomes, si j'utilise le mot correctement.

MAIS.

Du coup j'ai un problème. @cohomologies disait qu'une théorie c'est un ensemble d'énoncés et point barre. Est-ce que du coup il faut considérer que si la liste "absolue" d'énoncés change, c'est une théorie "absolument" différente ? Par exemple : la liste d'axiomes ZFC ne contient pas l'énoncé "l'ensemble vide est unique" que je vais appeler "U". U est immédiatement déductible des axiomes ZFC (existence de $\varnothing$ et extensionnalité) mais n'est pas dans la liste ZFC, donc "ZFC" et "ZFC+U" sont-ce deux théories différentes ou non ?

Médiat_Suprème

Ce qui compte, c'est la clôture déductive, deux ensembles d'énoncés ayant même clôture déductive sont équivalents (relation d'équivalence) donc on peut considérer l'ensemble quotient. Une liste d'axiomes devient un représentant privilégié d'une classe, de même pour la clôture déductive.

Mais si on devait systématiquement parler de classe d'équivalence, on compliquerait le discours inutilement.

Homo Topi

@Médiat_Suprème mon message précédent ne tient pas compte de ton dernier message. Je pense que le seul mot qui te pose vraiment problème est "cohérent" puisque ça a un sens précis en "science de l'étude logique des théories logiques".

Ce que je veux dire : dans "mon acception" du terme "théorie", une théorie c'est un ensemble de résultats vrais à propos d'un objet d'étude. Dans le sens, si j'écris un bouquin "théorie des groupes", je vais y définir des objets (groupe, morphisme...) et démontrer des résultats sur ces objets, sans m'amuser à fabriquer des centaines d'énoncés qui ne veulent rien dire (syntaxiquement incorrects, disons) ou qui sont faux. Pour parler d'énoncés vrais sur un objet appelé "groupe", j'espère que tu es d'accord qu'une sémantique est nécessaire, il me semble bien que c'est ça qu'on avait dit l'autre fois. Maintenant, quand un énoncé est-il vrai ? Soit tu le supposes comme vrai et tu appelles ça un axiome de la théorie, soit tu démontres qu'il est vrai (j'imagine : en construisant une preuve syntaxiquement valide dont la sémantique dit qu'il est vrai) et tu appelles ça un théorème. Si tu ne te donnes aucune sémantique, alors aucun de tes résultats ne voudra "dire quelque chose" au sujet de l'objet "groupe", tu auras simplement des énoncés valides mais pas de "théorie des groupes" utilisable. Si le mot "cohérent" est mal choisi, je comprends pourquoi (encore que, je disais avant que personne n'a le monopole sur le dictionnaire) mais je ne sais pas trop comment j'aurais dû formuler cette idée autrement.

Homo Topi

Médiat_Suprème a dit :

Ce qui compte, c'est la clôture déductive, deux ensembles d'énoncés ayant même clôture déductive sont équivalents (relation d'équivalence) donc on peut considérer l'ensemble quotient. Une liste d'axiomes devient un représentant privilégié d'une classe, de même pour la clôture déductive.

Mais si on devait systématiquement parler de classe d'équivalence, on compliquerait le discours inutilement.

                     

Médiat_Suprème

Je précise que la notion de théories équivalentes peut aller plus loin, par exemple l'Arithmétique de Presburger est équivalente à elle-même, enrichie de $\aleph_0$ nouveaux symboles de relation, et qui, sous cette forme, admet l'élimination des quantificateurs, et on peut démontrer qu'elle est complète.

Médiat_Suprème

@Homo Topi : Si tu ne te donnes aucune sémantique, alors aucun de tes résultats ne voudra "dire quelque chose" au sujet de l'objet "groupe", tu auras simplement des énoncés valides mais pas de "théorie des groupes" utilisable.

Cette "définition" vous est personnelle, et je ne suis pas sûr que vous soyez suivi par une majorité de logicien /mathématicien.

Dans un bouquin intitulé "Théorie des groupes" je m'attends à trouver des théorèmes démontrés à partir des axiomes de groupe, et rien d'autre (sauf dans un but pédagogique), car c'est exactement ce qu'est la théorie des groupes.

voir : Symbole implication dans certaines définitions — Les-mathematiques.net

Homo Topi

Ben justement, j'ai l'impression qu'on est d'accord sur le fond en fait.

Les théorèmes démontrés à partir des axiomes de groupe, ce sont bien des théorèmes "sur les groupes", oui ? Si tu fais un bouquin, sur la théorie des groupes, et que tu n'y mets que des démonstrations syntaxiques sur des formules abstraites, sans jamais dire quelque part ce qu'est un groupe, alors tu auras un bouquin rempli de résutats valides sur les groupes mais personne n'en aura compris quelque chose "sur les groupes". C'est juste ça que j'ai voulu dire. Je ne vois pas comment un texte pourrait renseigner sur les groupes si on ne permet pas

1) de discerner le vrai du faux, donc, sémantique

2) de discerner un groupe parmi tous les ensembles possibles, donc en décrivant ce qu'est un groupe en donnant une définition quelque part. Cf l'autre fil, en effet. Je ne vois pas en quoi un arbre de démonstrations partant des axiomes de groupe (sans déclarer en français "ceci définit un groupe"), aussi grand soit-il, mis en forme de bouquin ou non, permettrait à lui seul d'apprendre à quelqu'un le fonctionnement d'un groupe.

Médiat_Suprème

Donc, nous ne sommes pas du tout d'accord.

Si je note $\mathfrak G$ la théorie des groupes, la démonstration de $\mathfrak G \vdash (\forall x (x^2 = e)) \Rightarrow \forall x\forall y(x\star y = y\star x)$ ne nécessite aucune sémantique qui serait une pollution plus qu'autre chose.

Homo Topi

Je vois. Mais comment assures-tu que ce théorème est un théorème "sur les groupes" ? Et si tu me réponds "il est dans $\mathfrak{G}$ que j'ai définie comme étant la théorie des groupes", comment assures-tu que $\mathfrak{G}$ est bien une théorie "sur les groupes" ? Dans le sens : où places-tu la définition d'un groupe ?

Je suis d'accord qu'il n'y a pas besoin de savoir qu'un énoncé syntaxique comme ci-dessus "porte sur les groupes" pour considérer qu'il soit valide ou non. Mais ça a quand même une valeur ajoutée, je trouve.

Médiat_Suprème

Un groupe, c'est un modèle de la théorie des groupes.

Je me trompe peut-être, mais j'ai l'impression que votre point de vue est platonicien pur et dur : les groupes existent, il faut les formaliser (la théorie) et vérifier que cette théorie est parfaitement adaptée à ces groupes (qui existent, donc, indépendamment de la théorie). 

Homo Topi

Je n'ai pas l'impression de comprendre les choses comme ça dans ma propre tête, en tout cas.

Je suis circonspect face à la formulation des choses. La théorie des groupes, c'est donc la liste des énoncés valables obtenus à partir des axiomes de la théorie des groupes, sauf s'il y a encore une subtilité ici. Mais alors, qu'est-ce qu'un modèle de la théorie des groupes si ce n'est un ensemble qui vérifie tous les axiomes de la théorie des groupes ? Quand dans l'autre fil je mets une équivalence entre la phrase "le symbole $G$ désigne un groupe" et [liste des axiomes de groupe rapportés au symbole $G$], sans vouloir mélanger les deux fils, il faut m'expliquer ce que ça a de si grave : c'est bien ce qu'on fait dans notre tête, de dire que $G$ est un groupe "si et seulement si" il en vérifie tous les axiomes...

Médiat_Suprème

Vous reprenez votre mauvaise habitude de déformer les propos de vos interlocuteurs. Je reviendrai vous répondre quand vous serez honnête.

Homo Topi

Je n'ai rien déformé consciemment. Quel propos suis-je censé avoir déformé ?

Médiat_Suprème

Il suffit de relire mon message : "Cette phrase est une abomination : mélange de langage naturel et de langage formel"

Homo Topi

Et laquelle de mes phrases est censée déformer ce propos ?

Médiat_Suprème

ok : stop ! Trop c'est trop.

Homo Topi

Il aurait coûté moins d'énergie de copier-coller une phrase que j'ai déjà écrite, qui déforme effectivement le propos sus-mentionné à tes yeux, que d'écrire ça. Et après, c'est moi le problème...

Cyrano

@Homo Topi : Dans la "théorie des groupes", il y a juste des symboles que tu peux écrire dans un certain ordre.
Dans un vrai groupe, tu as un ensemble sous-jacent dont les éléments vérifient les propriétés écrites dans la théorie des groupes. 

Homo Topi

C'est comme ça que j'essaie de comprendre la notion de modèle.