$ 7 \mid a^2 + b^2 $ implique $ 7\mid a $ et $ 7 \mid b $
Bonjour,
Soient $a,b \in \mathbb Z $. On suppose $ 7 \mid a^2 + b^2 $ ; on veut montrer que ça entraîne $7 \mid a$ et $7 \mid b$.
On peut résoudre la question en distinguant des cas : les seules classes possibles d'un carré dans $ \mathbb Z / 7\mathbb Z $ sont $\overline 0$; $\overline 1$, $\overline 2$, $\overline 4$.
Il en résulte que la classe de $a^2 + b^2$ est l'une parmi $\overline 0 + \overline 0, \overline 0 + \overline 1,\overline 0 + \overline 2,...,\overline 1 + \overline 0,... ...,\overline 4 + \overline 4$.
Parmi toutes ces classes, la seule qui est $ \overline 0 $ est en fait la toute première, et elle correspond au cas où $\overline a = \overline b = \overline 0$.
Autrement dit, le seul cas où $ \overline{a^2 + b^2} = \overline 0 $ est le cas $\overline a = \overline b = \overline 0$.
Cette preuve par énumération des cas possibles ne donne, je trouve, pas vraiment de vision profonde de ce qui se passe. C'est un peu comme le théorème des quatre couleurs en coloriage de cartes : on a distingué des centaines de cas et ainsi, on est sûr que c'est vrai. Mais on ne comprend toujours pas mieux ce qui se passe. Je me demande s'il existe une autre façon de résoudre l'exercice qui explique un peu mieux les choses.
Auriez-vous des idées ?
Soient $a,b \in \mathbb Z $. On suppose $ 7 \mid a^2 + b^2 $ ; on veut montrer que ça entraîne $7 \mid a$ et $7 \mid b$.
On peut résoudre la question en distinguant des cas : les seules classes possibles d'un carré dans $ \mathbb Z / 7\mathbb Z $ sont $\overline 0$; $\overline 1$, $\overline 2$, $\overline 4$.
Il en résulte que la classe de $a^2 + b^2$ est l'une parmi $\overline 0 + \overline 0, \overline 0 + \overline 1,\overline 0 + \overline 2,...,\overline 1 + \overline 0,... ...,\overline 4 + \overline 4$.
Parmi toutes ces classes, la seule qui est $ \overline 0 $ est en fait la toute première, et elle correspond au cas où $\overline a = \overline b = \overline 0$.
Autrement dit, le seul cas où $ \overline{a^2 + b^2} = \overline 0 $ est le cas $\overline a = \overline b = \overline 0$.
Cette preuve par énumération des cas possibles ne donne, je trouve, pas vraiment de vision profonde de ce qui se passe. C'est un peu comme le théorème des quatre couleurs en coloriage de cartes : on a distingué des centaines de cas et ainsi, on est sûr que c'est vrai. Mais on ne comprend toujours pas mieux ce qui se passe. Je me demande s'il existe une autre façon de résoudre l'exercice qui explique un peu mieux les choses.
Auriez-vous des idées ?
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Réponses
On écrit les divisions euclidiennes par 7 $a=7x+u,\ b=7y+v$ et donc $7\mid uv$ puis comme $7$ est premier, il divise $u$ ou $v$ et donc $u$ ou $v$ est nul.
Mais alors $a$ ou $b$ est divisible par $7$, disons $a$, alors $ 7\mid b^2$ donc $7\mid b$.
Je te remercie ; cependant pourquoi $ 7\mid uv $ ? C'est le point central de l'argument ici ; à la limite $ 7 \mid u^2 + v^2 $, mais ...
@SandwichFromage as-tu essayé de raisonner par contraposée ?
En lisant cette phrase, il me semble que tu voulais dire que l'énoncé est faux !
D'ailleurs, pour la même raison, $a^2+b^2=0$ dans $\R$ implique $a=b=0$ puisque $-1$ n'y est pas un carré.
En revanche, dans $\Z/8\Z$, $2^2+2^2=0$, alors que $-1$ n'est pas un carré.
Remarque Soit $r$ le reste de la division d'un entier n par 7 alors r=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 , mais le reste de la division d'un entier n² par 7 est soit 0 ou 1 ou 2 ou 4 seulement ( Pourquoi ?)
On suppose que 7 divise a²+b².
Si 7 divise a alors 7 divise a² et puisque 7 divise a²+b² alors 7 divise b² et puisque 7 est premier alors 7 divise b.
Si 7 ne divise pas a, alors le reste $r$ de la division de a² par 7 est soit 1 ou 2 ou 4 d'après la remarque
1er cas si r=1, autrement dit 7 divise a²-1 on écrit a²+b²=a²-1+1+b² alors 7 divise 1+b², donc 1+b²=7k avec k>0 d' où b²=7(k-1)+6, c'est-à-dire que 6 est le reste de la division de b² par 7 ce qui contredit la remarque.
Je te laisse faire les autres cas si t'en a l'envie
@ gebrane p=4j+3 un nombre premier ( $j\geq 0$ un entier)
Ajout, j'en profite pour poser une question à mon ami @gairequin, tu enseignes en Terminal, comment traites-tu cet exercice en respectant le niveau ( l'exercice figure sur cette liste https://exocorriges.com/details-93845.html sans corrigé)
Soit $p$ un premier congru à $3$ modulo $4$.
Alors, pour tous entiers $a$ et $b$, si $p$ divise $a^2+b^2$, alors $p$ divise $a$ et $b$.
Même preuve que celle de gai requin.
D'ailleurs, l'IG responsable de l'élaboration du dit sujet s'est fait engueuler tout debout par un banal sous-directeur au Ministère (dont le niveau de CE2 en maths lui permettait sans doute d'apprécier la complexité insensée de l'énoncé).
Ne me quitte jamais, merci pour l'explication
un détail mesquin: si $a^2+b^2=0$ (mod $p$) et $b\neq 0$ (mod $p$), alors $p=1$ ou $2$ (mod $4$).
Cordialement
Paul
Soit p un nombre premier impair de la forme p=2n+1 avec n est un nombre premier impair. Démontrer que si p | (a²+b²) alors p|a et p|b
On travaille dans $ \mathbf Z[i] $ supposons que $ p $ divise $ a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi) $, Je suis entrain de chercher un argument pour dire que $ p $ divise l'un des facteurs du côté droit. , et donc $ p $ divise à la fois $ a $ et $ b $.
Donc comment démontrer que p est inerte dans l'anneau ?
Je crois trouver une preuve combinant ev et John.
Il me semble que cette démonstration est à la portée d'un collégien (pas de corps $ \mathbb Z / 7\mathbb Z $ ni autre résidu quadratique...)
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Je suis un Jack
[0]²+[0]²=[0]
[0]²+[1]²=[1]
[1]²+[1]²=[2]
[3]²+[1]²=[3]
Je laisse @LEG continuer
Quel est le but de cette question @ev ?
Montrer ou nier que l'application de @ev est une surjection dans $\mathbb{F}_{47}$. Au moins , on écarte les amateurs comme .. :
Montrer la surjectivité de la fonction de @ev dans F_q