Montrer que deux ensembles sont difféomorphes

Laubergine

Bonjour
Pour montrer que deux ensembles sont difféomorphes, y a-t-il d’autres méthodes que d’expliciter un difféomorphisme ?

Je me suis posé cette question suite à cet exercice.

Montrer que le fibré tangent de S1 est difféomorphe au cylindre S1xR.

J’ai écrit les expressions algébriques des espaces tangent de S1, mais non seulement j’ai l’impression que dire simplement qu’ils sont de dimension 1 me semble insuffisant, et aussi j’imagine qu’il existe une méthode moins maladroite pour comprendre cet exercice.

Vous remerciant d’avance pour vos réponses et votre patience.

Alceste

Bonjour,

Une astuce utile, qu'on peut prendre comme un exercice: un fibré de rang 1 est trivial(isable) si et seulement si il admet une section ne s'annulant pas. L'exercice en découle aussitôt.

Autre exemple: le fibré normal à la sphère S² est trivial(isable).

Cordialement.

Laubergine

D’accord, merci pour la réponse.
Après un peu de gymnastique mentale et après avoir parcouru mon cours, j’ai fini par comprendre un peu mieux ces notions. L’indication découle directement d’un théorème de mon cours.
Ainsi, puisque S1xR n’est pas trivial, par théorème, toutes les sections s’annulent en un point, que l’on peut assimiler appartenant à S1. Donc S1xR est un ensemble de droites de R3 qui intersectent chacune S1.
Mais j’ai encore deux questions :
Je ne vois pas comment justifier que ce point d’intersection est à chaque fois unique (si c’est bien nécessaire de le justifier).
Est-ce que cette conclusion est vraiment suffisante pour justifier que ces deux ensembles sont difféomorphes ? Je veux dire, comment le justifier proprement à un examen ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

$S^1\times \R$ est un fibré trivial sur $S^1$. C'est quasiment la définition de fibré trivial : un produit.

Le fibré tangent à $S^1$ est aussi trivial. Tu peux suivre le vecteur unitaire tangent au cercle qui pointe dans le sens direct.

Laubergine

Bonjour et merci pour les astuces @GaBuZoMeu.

Mais à partir de ça je ne suis pas certain de savoir justifier proprement que les deux ensembles sont difféomorphes, comme expliqué dans mon message précédent.

NoName

Voici une manière de formaliser l'argument.

Si $E$ est un fibré sur $X$ de fibre $V$ et $f:E\to V$ qui est telle qu'en restriction à chaque fibre $f$ est un isomorphisme, alors $E$ est trivial.
En effet $E$ est alors isomorphe à $\overline{f}^*V$ où $\overline{f}$ est l'application qui envoie $X$ sur le point.
En fait on a le résultat plus général suivant si on a un diagramme $$\begin{matrix} E &\xrightarrow{f}& F \\
\downarrow & & \downarrow \\
X &\xrightarrow{\overline{f}}& Y\end{matrix}$$ avec les conditions précédentes alors $E$ est isomorphe à $\overline{f}^* F$.
Bon pour le fibré tangent au cercle, on a $(s, v)\mapsto (1, s_*^{-1}v)$ qui est une telle application, avec $s_*$ la différentielle de la multiplication par $s$ (qui est simplement la rotation dans le plan, qui lui correspond).

Cet argument n'utilise rien de particulier sur $\mathbb{S}^1$ et s'applique en fait à tout groupe de Lie.

GaBuZoMeu

De manière terre à terre, tout élément $(x,v)$ du fibré tangent ($x\in S^1,\ v\in T_xS^1$) s'écrit $\big((\cos\theta,\sin\theta), (-t\sin\theta,t\cos\theta)\big)$, et on peut l'envoyer sur $\big((\cos\theta,\sin\theta), t\big)\in S^1\times \R$.

Laubergine

D’accord ! Merci beaucoup à vous trois ! 

Cette discussion m’aura fait prendre du recul sur ces nouvelles notions et j’ai bien l’impression que le recul est particulièrement essentiel en géométrie différentielle.

Bonne soirée.