Rayon d'un mixtilinear excircle

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
1. ABC       un triangle

2. (I)            le cercle inscrit à ABC de rayon r

3. (O)          un cercle passant par B et C tel que A soit à l'intérieur, de rayon R

4. (Oa)        le cercle tangent à (AB), (AC) et extérieurement à (O) de rayon ra

Question : évaluation de ra en fonction de r, R et <A.  (je ne sais comment m'y prendre)

Merci pour votre aide pour ma figure et vos idées....
Sincèrement
Jean-Louis

GaBuZoMeu

Bonjour

Ton ra ne dépend pas que de r, R et <A !

gipsyc

Bonjour

Une suggestion :
aborder le problème autrement, à partir de deux cercles non sécants Oa et I, en tracer les deux tangentes internes communes (intersection A) puis d'un point B bien choisi sur une de ces tangentes du côté du cercle I, tracer une tangente externe au cercle I qui donne C sur l'autre tangente. Bien choisi : le tout est qu'un cercle de corde BC (tangente au cercle I) soit tangent au cercle Oa
Jean-Pol Coulon

GaBuZoMeu

Même <A (65°), même r (1.81), même R (5) :

et des ra complètement différents (1.1 et 4.1) !

Allo Jean-Louis ?

Rescassol

Bonsoir,

Ça n'éclaircit pas le mystère de Jean-Louis, mais habituellement, les cercles mixti-linéaires sont tangents au cercle circonscrit au triangle $ABC$ et il y en a deux, un interne et un externe. Leurs rayons, en fonction des longueurs $a,b,c$ des longueurs des côtés sont:
$ra^2=\dfrac{4b^2c^2(a+b-c)(a-b+c)}{(a+b+c)^3(-a+b+c)}$ pour l'interne et $Ra^2=\dfrac{4b^2c^2(a+b-c)(a-b+c)}{(a+b+c)(-a+b+c)^3}$ pour l'externe.
On a la relation $\dfrac{Ra}{ra}=\dfrac{a+b+c}{-a+b+c}$.

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

Bonjour Rescassol,
merci beaucoup pour ton aide...

Très sincèrement
Jean-Louis

GaBuZoMeu

Le mystère n'est toujours pas éclairci.

poulbot

Bonjour
Pour compléter un peu les assertions de Rescassol, il existe $4$ cercles tangents aux droites $AB$ et $AC$ et au cercle circonscrit : les $2$ donnés par Rescassol et $2$ autres centrés sur la $A$-bissectrice extérieure (voir figure).
Leurs constructions sont très simples : si $J$ est un des centres $I,I_{a},I_{b},I_{c}$ des cercles tangents aux $3$ droites $AB,BC,CA$, les points de contact avec les droites $AB$ et $AC$ d'un des $4$ cercles à construire sont sur la droite perpendiculaire en $J$ à la bissectrice $AJ$.
Il en résulte immédiatement que, selon que $J=I,I_{a},I_{b},I_{c}$, les rayons de nos $4$ cercles sont respectivement $\dfrac{r}{\cos ^{2}\frac{A}{2}},\dfrac{r_{a}}{\cos ^{2}\frac{A}{2}},\dfrac{r_{b}}{\sin ^{2}\frac{A}{2}},\dfrac{r_{c}}{\sin ^{2}\frac{A}{2}}$.
Évidemment, ceci n'apporte rien au problème de Jean-Louis.

Bien cordialement. Poulbot

GaBuZoMeu

Si vous voulez jouer :
https://www.geogebra.org/m/zj4fah4x

Rescassol

Bonjour,

Rajoutons une propriété:
Le triangle formé par les centres des trois cercles mixtilinéaires internes est en perspective avec $ABC$.
Le perspecteur est $X_{56}=[a^2(a+b-c)(a-b+c); b^2(a+b-c)(b-a+c); c^2(a-b+c)(b-a+c)]$.

Cordialement,
Rescassol

poulbot

Bonsoir Rescassol
Les centres des cercles mixtilinéaires internes sont clairement sur les bissectrices intérieures correspondantes de $ABC$. Ainsi, le triangle de sommets ces centres est en perspective avec $ABC$ en un point bien plus connu que $X_{56}$.
Bien cordialement. Poulbot

Rescassol

Bonsoir,

Oui, pardon, Poulbot, il ne s'agit pas des centres mais des points de contact de ces trois cercles mixtilinéaires internes avec le cercle circonscrit.

Cordialement,
Rescassol

poulbot

Bonsoir Rescassol et merci
Effectivement, les points de contact de ces trois cercles mixtilinéaires internes avec le cercle circonscrit sont les sommets d'un triangle en perspective avec $ABC$ au centre d'homothétie positive des cercles inscrit et circonscrit.
Et, comme il se doit, les points de contact des trois cercles mixtilinéaires externes avec le cercle circonscrit sont les sommets d'un triangle en perspective avec $ABC$ au centre d'homothétie négative des cercles inscrit et circonscrit, alias $X_{55}$.
Bien cordialement. Poulbot

Jean-Louis Ayme

Bonjour à tous et merci...
personnellement, a-t-on proposé une formule pour le rayon ra de (Oa) en fonction des données du problème que j'ai posé?
Je n'ai aucune inspiration pour la marche à suivre...

Merci pour toute suggestion...

Sincèrement
Jean-Louis

GaBuZoMeu

Mais, Jean-Louis Aymé, pourquoi t'obstines-tu à ne pas comprendre que r, R et <A ne déterminent pas ra ? As-tu joué avec l'animation GeoGebra que j'ai réalisée ?
https://www.geogebra.org/m/zj4fah4x

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
(O'a)  étant  le cercle tangent à [AB], [AC] et intérieurement à (O),  son rayon peut être évalué...
Sincèrement
Jean-Louis

GaBuZoMeu

Sur ton premier dessin, tu t'intéresses au cercle tangent extérieurement à (O). Pourrais-tu avoir un discours cohérent ? Merci !

Jean-Louis Ayme

c'est comme cela que tu me parles ?
As-tu un site ou bien un article à nous proposer ?
Jean-Louis

GaBuZoMeu

C'est tout ce que tu trouves à dire quand on te demande des explications sur ce que tu écris ?
Tangent intérieurement ou extérieurement, ça ne change rien à l'affaire : tes données r, R et <A ne déterminent pas le rayon !

Alors, qu'est-ce que tu cherches ?

GaBuZoMeu

Bon, je crois qu'on ne saura jamais ce que cherchait JLA dans son premier message ...