Droite et plan parallèles (exercice de 2nde du Lebossé Hémery)

fjbd

Bonsoir à tous
Je sollicite  votre aide car je reste sans inspiration sur l’exercice 309 Chapitre 14 du livre de 2nde (édition 1961). Voici l'énoncé.

On donne deux-demi-droites fixes D1 et D2 d'origines respectives A et B. Deux points variables M et N décrivent respectivement D1 et D2.

1°) Construire le plan P passant par D2 et parallèle à D1. La parallèle menée par M à AB coupe ce plan en M'. Quel est le lieu de M' ?

2°) Soit I le milieu de MN et J celui de M'N. Comparer les segments IJ et AB

3°) Trouver le lieu de J, puis celui de I dans les deux cas suivants :

a) AM = BN

b) AM + BN = 2l ou l désigne une longueur donnée

1) J'ai construit la figure ci-dessous :

Soit E le point d'intersection du plan P et de la droite D2 et soit H le point d'intersection de la droite AB et de la parallèle à AM passant par M'

Le lieu de M' est l'ensemble des points du plan définis par les droites AB et D1, AMM'H réalisant un parallélogramme puisque ces 4 points sont dans un même plan avec MM' parallèle à AB par définition et M'H parallèle à AM par construction.

https://www.geogebra.org/m/q6smhub9

2) Je ne parviens pas à déterminer le lieu de I milieu de MN.

M et N étant deux points variables sur D1 et D2, I est un point variable sur une demi-droite droite D3, à mi-chemin entre D1 et D2, ayant pour origine O milieu du segment AB, mais comment déterminer l'orientation de cette demi-droite ?

Merci de votre aide

fjbd

bd2017

Bonjour

Il me semble que tu dois revoir la question 1)  car elle n'est pas correcte et je vois mal comment tu peux voir le lieu de $I.$
D'abord concernant $D_1$  et $D_2,$ l'énoncé  ne donne pas d'hypothèse sur la position de l'une part rapport à l'autre ? Est-ce un oubli de ta part ? Pas forcément, mais alors  les questions induisent des hypothèses qu'il serait bien d'énoncer avant de commencer.
Surtout, concernant ta définition du point $E,$ intersection de $D_2$  et $P.$ Ne vois-tu pas un problème dans ta définition ? 

fjbd

Merci bd2017
Voici la copie de l'énoncé.

J'imagine qu'une partie de mes difficultés vient de ma mauvaise compréhension de l'énoncé.

Il y a une infinité de plans parallèles à D1. J'ai donc appelé E le point d’intersection de D2 avec un de ces plans, considérant qu'en général D2 n'est ni contenu dans ce plan, ni parallèle à ce plan. Mais peut-être dois-je comprendre par le terme passant par D2 de l'énoncé, qu'on cherche à construire un cas particulier où le plan P contient D2, ce qui impliquerait que D1 et D2 sont parallèles.

Ensuite, concernant la détermination du lieu de I, peut-être peut-on répondre à la deuxième question sans déterminer le lieu de I qui n'est explicitement demandé qu'à la 3è question sous les conditions AM=BN et AM+BN=2l.

gerard0

Bonjour.
Tu as effectivement une belle incompréhension. On te parle d'un plan précis ("le plan ..") qui "passant par $D_2$" contient effectivement $D_2$ et est en plus parallèle à $D_1$. Exercice de débutant : construire ce plan (on faisait ça en troisième, quand j'y étais, en commençant la géométrie dans l'espace). Une des méthodes permet d'ailleurs de répondre rapidement à la question suivante).

Ce genre d'énoncé ancien suppose implicitement qu'on est en situation générale. Les deux demi-droites ne sont pas parallèles (sinon le plan n'est pas défini univoquement). De même, A et B sont supposés distincts (on parle de parallèle à AB).
Cordialement.

fjbd

Merci pour avoir levé cette incompréhension.

1°) Le lieu de M' est donc la droite parallèle à AM et passant par B.

2°) Soit le triangle MNM', avec I milieu de NM et J milieu de NM', on en déduit IJ parallèle à MM' et donc à AB avec IJ = MM'/2 = AB/2

3°) a) Dans le cas où AM = BN, NBM' forme un triangle isocèle. Le lieu de J est la hauteur issue du sommet B de ce triangle

J'ai du mal à définir le lieu de I : il 'agit d'une demi-droite d'origine O, milieu du segment AB et cette demi-droite doit être contenue dans un plan parallèle à P et passant par ce point O, mais cela ne suffit pas à définit le lieu de I.

Voici la figure que j'obtiens avec AM = BN

gerard0

Le lieu de M' n'est pas une droite, seulement porté par cette droite.

Le lieu de J devrait être défini indépendamment de M, N et les points qui en dépendent.

Pour le 3 a), utilise le fait que $\vec{IJ}$ est un vecteur fixe.

fjbd

Le lieu de J est porté par la bissectrice de l'angle formé par l'intersection de D2 et de la droite parallèle à D1 passant par B.

 Le lieu de I est porté par la droite à l'intersection des deux plans suivants:
- le plan passant par O (milieu du segment AB) et parallèle au plan P
- le plan défini par les points J, O et le vecteur de direction IJ (Définition d'un plan à partir d'un vecteur pas encore vue)

J'utilise J pour définir I, I ayant été défini préalablement mais je sens bien que ma notation n'est pas propre du tout.

gerard0

Il te reste à définir que sont exactement les lieux de M', J et I. Pour l'instant, tu as dit qu'ils sont inclus dans des droites, mais comme ce ne sont pas toute la droite, il reste à finir.

fjbd

C'est noté. Merci encore pour ton aide