Continuité par morceaux sur un intervalle

Chris59

Dans plusieurs cours (et wikipédia), il est écrit qu'une fonction $f$ est continue par morceau sur un intervalle $I$ si elle est continue par morceau sur tout segment inclus dans $I$

Ainsi, la fonction $f$ définie sur l'intervalle semi-ouvert $]0,1]$, par $f(x)=\frac1n$ pour $x\in ]\frac{1}{n+1},\frac1n]$ pour $n\geq 1$ est continue par morceau. N'est-ce pas étrange ? Son extension naturelle à $[0,1]$ n'est pas continue par morceau, bien que continue en $0$.

Il me semble qu'une fonction continue sur un intervalle borné quelconque devrait être la même que celle du segment, avec une subdivision finie. Et si l'intervalle n'est pas borné, alors la subdivision doit être localement finie. Vous avez des références sur ce point précis ? Il me semble que les anglo-saxons utilisent plutôt cette définition ci.

Dom

C’est la définition usuelle en effet. 

Par contre je n’ai pas compris : pourquoi la fonction que tu décris est continue en $0$ ? N’est-elle pas non bornée au voisinage de $0$ ?

Autre exemple : 
$x\mapsto 1/x$ est continue par morceaux sur $]0;1]$ mais ne peut pas être prolongée en une fonction continue par morceaux sur $[0;1]$. 

Chris59

J'avais oublié de rajouter le pour $n\geq 1$. Est-ce plus clair comme cela ? $\frac1n\to 0$  quand  $n\to \infty$

JLapin

Et oui, il existe des fonctions définies sur $[0,1]$, possédant trop de points de discontinuités pour être continues par morceaux mais telles que la restriction à n'importe quel segment $[a,1]$ avec $a\in ]0,1]$ soit continue par morceaux...

Ce genre d'exemple montre que la continuité par morceaux n'est pas vraiment le bon cadre pour définir un ensemble de fonctions susceptibles de posséder une intégrale.

Foys

Le bon cadre pour l'intégration prépa/L1/L2 (disons le bon compromis entre généralité/facilité d'exposition) sont les fonctions réglées je pense.

Math Coss

Les étudiantes et candidates aux divers concours ne sont pas responsables des programmes en vigueur.

Chris59

Mon avis était plutôt de dire que je trouve ça étrange de dire que la fonction ci-dessus définie sur $]0,1]$ est continue par morceaux. A mon sens, elle devrait ne pas l'être.

Il me semblait que la convention anglosaxonne était de parler de subdivision finie pour les intervalles finis, quelque soit le type d'intervalle, et me paraissait faire plus sens.

JLapin

Je veux bien un lien vers cette convention anglo-saxonne mais tout de même, on a bien envie de dire que la fonction partie entière est continue par morceaux sur $\R$.

Après tout, les anglo saxons pour qui une fonction non-increasing est une fonction décroissante au sens large n'en sont plus à une bizarrerie près.

Chris59

Mais justement, la partie entière est continue par morceaux quelque soit la convention, puisque la subdivision est localement finie.
Je vais chercher une référence (wikipedia en parle rapidement comme je le disais en tout cas) sur le sujet.

En tout cas, le fait que prolonger en un point (même par continuité) une fonction continue par morceau de donne pas nécessairement une fonction continue par morceau est tout de même fort dommageable je trouve.
Je sais bien qu'il y a des bizarreries anglo-saxonne mais là ça n'est pas le cas à mon sens. C'est même plutôt l'inverse.

JLapin

Chris59 a dit :

En tout cas, le fait que prolonger en un point (même par continuité) une fonction continue par morceau de donne pas nécessairement une fonction continue par morceau est tout de même fort dommageable je trouve.

C'est pourquoi, si tu as le choix de ton ensemble de fonctions pour définir correctement une intégrale, ne choisit pas celui-là.

Mais si tu dois suivre un programme, suis-le...

Chris59

Oui, je crois que je vais tout simplement passer sous le tapis la définition sur un intervalle quelconque et me contenter d'un segment. C'est la version la plus simple pour l'intégration.

Je reste néanmoins surpris de cette définition.

JLapin

Je ne sais pas trop quels sont tes objectifs en travaillant les maths mais si tu prépares l'agreg ou le capes, il serait bien tout de même de prévoir d'intégrer des fonctions sur d'autres intervalles que des segments.

Foys

Je ne vois pas où est le problème avec la définition locale "soit $I$ un intervalle, une fonction définie sur $I$ est continue par morceaux si et seulement si elle est continue par morceaux sur tout segment contenu dans $I$" (la continuité par morceaux sur segments étant consensuelle). Quant à l'intégration, la définition d'intégrale des fonctions réglées prend un quart d'heure et son application aux fonctions continues se base sur le fait qu'elles sont aussi uniformément continues sur des segments (résultat dont on a besoin dans tous les cas, par exemple pour l'intégrale de Riemann).

gebrane

Pour la continuité par morceaux, j'ai en mémoire les définitions suivantes
1- f est continue par morceaux  sur le segment [a,b] si f est continue sur [a,b] sauf en un nombre fini de points $c_i$ où $f(c^+_i)$ et $f(c_i^-)$ existent et finies
2- f est continue par morceaux sur un intervalle $I$ si f est continue par morceaux sur chaque segment de $I$

Mes définitions sont-elles à jours ?

Chris59

Non, mais je dois présenter l'intégration à des étudiants non spécialistes, la construction importe assez peu à dire vrai. Le cas le plus dur auquel ils auront à faire sont justement des fonctions continues par morceaux sur des segments, ou éventuellement tout simplement continu sur un intervalle quelconque, donc ça me suffit amplement.

Je maintiens néanmoins que le fait de rendre une fonction qui était continue par morceaux discontinue par morceaux en rajoutant un point est contre-intuitif (alors que le principe même est qu'on devrait se moquer de ce que vaut la fonction en un point).

Dans les faits, bien sûr qu'on rencontre rarement les exemples qui posent problème, et toutes les conventions sont valides, mais ça me paraîtrait plus simple avec la définition habituelle mais sur n'importe quel intervalle borné (nombre fini de discontinuités dans l'intervalle, toutes de première espèce).

Dom

Salut gebrane, 
Ce sont en effet les définitions que l'on trouve partout (pour la 1) on trouve plutôt "sur chaque intervalle ouvert la fonction coincide avec une fonction continue sur le fermé" (on ferme les crochets quoi...).

Chris59
Je comprends cette idée pénible qu'en ajoutant un point, ça ne rentre plus dans "continue par morceaux". Cependant quelle définition serait commode ?
Si l'on ne se permet qu'un nombre fini de discontinuités, alors on perd des fonctions du coup au lieu d'en ajouter.
Si j'ai bien compris c'est plutôt pour étendre l'intégrale de Riemann aux intervalles semi-ouverts, ouverts, voire non bornés c'est-à-dire aux intégrales généralisées. 

JLapin

Chris59 a dit :

Dans les faits, bien sûr qu'on rencontre rarement les exemples qui posent problème, et toutes les conventions sont valides, mais ça me paraîtrait plus simple avec la définition habituelle mais sur n'importe quel intervalle borné (nombre fini de discontinuités dans l'intervalle, toutes de première espèce).

Dans ce cas, tu ne pourrais plus intégrer $x\mapsto x \lfloor 1/x\rfloor$ sur $[0,1]$ comme sur $]0,1]$...

Bon courage pour la préparation de ton cours : c'est un sujet très délicat !

Chris59

Oui, cela enlève en effet des fonctions, qui doivent alors tout simplement rentrer dans un cadre plus général (fonction réglée par exemple).

Je trouve juste cela très étrange de faire une distinction entre intégrale sur $[0,1]$ et $]0,1]$. Là,  la fonction n'est pas continue par morceau sur $[0,1]$ donc je ne sais pas intégrer, mais continue par morceau sur $]0,1]$ et là je peux. J'aime bien l'idée que la classe des fonctions doit permettre de faire sens dans les deux cas ou aucun.

Merci pour les retours en tout cas, je m'en vais finir tout cela.

Dom

Même en prépa agreg interne, le prof disait parfois « intégrable sur un segment, c’est continue par morceaux ». Bon, il prenait tout de même des précautions oratoires, car dit comme ça, c’est faux. Disons que tous les cas rencontrés, notamment dans les épreuves écrites, étaient ceux-là.